Вопрос №15 Извлечение корня из комплексного числа

Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения

(17.14)

где неизвестным служит   , а    -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде   , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень   -ой степени из комплексного числа   . Итак, решаем уравнение (17.14).

Если   , то   . Пусть   . Запишем число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- известные величины. Запишем неизвестное число   в тригонометрической форме:   . Здесь   и    -- неизвестны. По формуле Муавра

Таким образом,

Если два комплексных числа равны, то их модули должны быть равны. Поэтому   . В этом соотношении   и    -- положительные числа, следовательно   , где справа стоит обычный арифметический корень из положительного числа.

Если два комплексных числа равны, то аргументы у них могут различаться только на величину, кратную   . Поэтому   ,   . Отсюда находим, что

В итоге получили:

(17.15)

Значения   , отличные от указанных в этой формуле, дадут те же значения   , которые можно получить при 

Вопрос №16 Понятие функции комплексного переменного

        Понятие функции комплексного переменного является частным случаем общего математического понятия функции.

Определение. Если А –  некоторое множество комплексных чисел z (геометрически –  множество точек комплексной плоскости), и каждому числу z А поставлено в соответствие по некоторому закону число w  В (где В –  также множество комплексных чисел), то говорят, что на множестве А определена функция комплексного переменного z (или отображение множества А в В ).

Записывают: w  = f (z).

        Множество А называют областью определения функции, В –  множество, состоящее из значений, принимаемых функцией, называют областью значений функции.

         Принято множества А и В, изображать на отдельных комплексных плоскостях (см. рис. 5): плоскость z комплексных чисел z  = х + i у и плоскость w комплексных чисел w = u + i v .

        При этом точка w₀  = f (z₀) называется образом точки z₀, а z₀–  прообразом точки w₀.

        В частности, если А расположено на действительной оси ох, то z  = х является действительным переменным. Если же все значения w также действительны, то приходим к понятию функции действительного переменного как частному случаю функции комплексного переменного.

В общем случае z  = х + i у, w  = u (х, у) +  i v (х, у).

        Геометрически функцию f (z ) можно рассматривать как отображение множества А на множество В, переводящее точку (х, у) множества А в точку ( u, v ) множества В. Высказывание “ функция w  = f (z) определена на множестве А” эквивалентно следующему: “ каждой точке (х, у) из А поставлены в соответствие действительные числа  u   и v ” . Иными словами, на множестве А определены две действительные функции

 и   двух действительных переменных х и у. Итак, задание функции комплексного переменного w  = f (z) равносильно заданию двух функций двух действительных переменных   и   .

        Например, соотношение w = z² = (x +iy)² = x² – y² + i2xy   эквивалентно следующим: u = x² – y², v = 2xy.