• Предмет начертательной геометрии. Виды проецирования.

• Проекции с числовыми отметками. Метод Монжа.

• Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

• Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций. Взаимное расположение точек.

• Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

• Различное положение прямой относительно плоскостей проекций. Следы прямой.

• Взаимное расположение точки и прямой. Деление отрезка прямой линии в данном соотношении.

• Определение длины отрезка прямой линии и углов наклона прямой к плоскостям проекций.

• Взаимное положение двух прямых. Параллельные прямые. Пересекающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые.

• Проекции плоских углов.

• Типы задач начертательной геометрии. Методы преобразования ортогональных проекций.

• Метод плоскопараллельного перемещения. Метод вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций. Метод вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций. Метод замены плоскостей проекций.

• Плоскость. Способы задания плоскостей.

ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В математическом энциклопедическом словаре дается следующее определение: «Начертательная геометрия – раздел геометрии, в котором пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются с помощью их изображений на плоскости».

Методы начертательной геометрии являются теоретической базой для решения задач технического черчения. В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, эскиза, чертежа требуется знание теоретических основ построения изображений геометрических объектов, их многообразие и отношения между ними, что и составляет предмет начертательной геометрии. Построение проекции винтовой поверхности Если к поверхности прямого кругового цилиндра прикасается одной стороной произвольная плоская фигура так, что ее плоскость проходит через ось цилиндра, то в результате винтового движения фигуры без изменения ее положения относительно оси цилиндрической поверхности получается винтовой выступ. Наброски натюрморта на настроение Если в пятом задании задачей была точная передача цвета, то в набросках задачей является передача собственного отношения автора к натуре. Натура - только повод для выражения настроения пишущего.

Изображение фигуры на плоскости как графический способ представления информации о ней имеет преимущества в сравнении с другими способами: Кроме перечисленных задач при компьютерном моделировании геометрических форм возникают и новые задачи из теории множеств типа найти пересечения (форму) двух и более объектов, разность, объединение. Взаимное положение двух прямых

– общение становится более доступным, потому что образы, создаваемые на основе визуального (зрительного) восприятия, обладают большей, чем слова, ассоциативной силой;

– изображения являются интернациональным языком общения, тогда как, например, вербальное общение требует для понимания, как минимум знания языка собеседника.

Таким образом теоретические основы визуализации информации о геометрических объектах, многообразие геометрических объектов пространства, отношения между ними и их графического отображения на плоскости составляют предмет начертательной геометрии. Культура и искусство доисторической эпохи

Задача этой науки – создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка теории графического отображения объектов и процессов.

Начертательная геометрия со времен ее основоположника Г. Монжа (1746-1818)  завоевала свое достойное место в высшей школе как наука. Важнейшее прикладное значение начертательной геометрии как учебной дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком, выполнять и читать чертежи и другие изображения геометрических объектов, без чего немыслимо формирование инженера. Она обеспечивает преемственность между школьными курсами геометрии и черчения и графическими дисциплинами вуза. Выполнение графических работ Центральное проецирование Начертательная геометрия

Изучение начертательной геометрии способствует развитию пространственного воображения и навыков правильного логического мышления. Совершенствуя нашу способность - по плоскому изображению мысленно создавать представления о форме предмета и наоборот создание изображений мысленно созданных образов – визуализация мысли.

Однако не всякое изображение отображает геометрические свойства оригинала и не может быть принято для всестороннего его исследования. Принципиальное отличие методов изображения, изучаемых в курсе начертательной геометрии, от некоторых современных технических средств отображения (фотография, голография и др.), заключается в возможности с большой наглядностью и метрической достоверностью отобразить не только существующие предметы, но и возникающие в нашем представлении образы проектируемого объекта.

Изображение, которое позволяет определять взаимосвязь (взаимопринадлежность) элементов объекта, называют полным.

Изображения, по которым можно определить размеры объекта, называется метрически определенными.

Из плоскостных изображений объекта наиболее широкое применение в практике получили рисунки и чертежи. Рисунком называют изображение предмета от руки и на глаз с кажущимися относительными размерами и положениями отдельных его элементов. Чертежомназывают изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов в точной зависимости от размеров и положения в пространстве соответствующих линий предмета.

В технике чертежи являются основным средством выражения человеческих идей. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне, исследовать предметы и их отдельные детали.

Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии

Итак, в курсе начертательной геометрии изучаются:

1. методы отображения пространственных объектов на плоскости;

2. способы графического и аналитического решения различных геометрических задач;

3. приемы увеличения наглядности и визуальной достоверности изображений проецируемого объекта;

4. способы преобразования и исследования геометрических свойств изображенного объекта;

5. основы моделирования геометрических объектов.

Виды проецирования.

 

Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый  как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

		В основу любого изображение положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S(рис.1.1) в качестве центра проецирования и плоскость Пi, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость Пi , через центр проецирования S проводят лучSА до его пересечения с плоскостью Пi в точке Аi. Точку Аi принято называтьцентральной проекцией точки А , а луч SА - проецирующим лучом. Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости Пi  есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F). Точка F прямой m принадлежит плоскости , Ω, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости Ω не имеют центральных проекций на Пi.
	Рисунок 1.1. Центральное проецирование

Точка D_i проекции прямой m_i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD_i параллелен прямой.

Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных (бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством.

Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N (рис. 1.2). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций П_i.

Рисунок 1.2. Центральное проецирование линии	Рисунок 1.3. Центральное проецирование поверхности

Коническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис. 1.3). Линию K_i принято называть в этом случаяочерковой или очерком данной фигуры.

Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости.

Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие:

                    1)      проекция точки – точка;

                    2)      проекция прямой – прямая;

                    3)      если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.1.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта. При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие: проекции параллельных прямых параллельны между собой; отношение отрезков прямой равно отношению их проекций; отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций. В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие прямые перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90^0.

Рисунок 1.4. Параллельное проецирование

Таким образом ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного и полученная этим методом проекция объекта называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и  центрального проецирования и кроме того, справедлива теоремао проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол.

 К проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой;

2. Наглядность – чертеж должен  создавать  пространственное представление о форме предмета;

3. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты;

4. Простота – изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ

В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций Пi называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П0. Идея этого метода состоит в том, что на плоскость П0 ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости  П0 (рис. 1.5). Это расстояние называют числовой отметкой точки и задают обычно в метрах. Числовую отметку точки пишут внизу справа от обозначения ее изображения. Многозаходные винты и резьбы Пусть по цилиндру движется не одна точка, образующая винтовую линию, а две, имеющие исходное положение на противоположных концах какого-либо диаметра окружности основания цилиндра. Тогда на цилиндре получаются две винтовые линии, смещенные относительно друг друга: на цилиндре будут два захода винтовых линий. Этюд натюрморта тремя красками Эти три краски позволяют значительно приблизиться к полноцветной живописи. Теперь мы можем задавать не только светлоту, но и теплоту цвета. Позиционные задачи на пересечение прямых и плоскостейПри моделировании важно знать взаимное положение геометрических фигур, которые могут пересекаться (что, часто, не должно быть), касаться и т.д. Ортогональный чертеж не всегда дает ответ на эти вопросы. Если плоскость нулевого уровня расположена горизонтально, то чертеж называют планом. На плане всегда указывают линейный масштаб и при необходимости дают ориентацию относительно сторон света. Дальнейшее развитие христианства в Европе Культура христианской эпохи Очень удобно в проекциях с числовыми отметками изображать линии уровня, все точки которых имеют одинаковые отметки. Линии уровня проецируются на П0 без искажения своей формы (применяется в картографии). Проекции с числовыми отметками позволяют просто решать многие задачи. Обратимость чертежей в проекциях с числовыми отметками очевидна. Выполнение графических работ Кривые линии Начертательная геометрия

Рисунок1.5. Сущность метода с числовыми отметками

Зарождение идеи этого метода относят к средним векам. Уже тогда многие народы, пользующие картами с показаниями морских глубин, умели изображать точку при помощи ее проекции и отметки. Однако теоретическое обоснование метод получил лишь в 19 веке (французский военный инженер – капитан Нуазе, 1823г.).

Чертежи в проекциях с числовыми отметками построены на одной плоскости проекций – на одной картине и часто называютсяоднокартинными.

МЕТОД  МОНЖА

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Г. Монжем.

Гаспар Монж  крупный французский геометр конца 18, начала  19 веков, 1789-1794 гг. один из основателей  знаменитой политехнической школы в Париже и участник работ по введению метрической системы мер и весов.

Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы таких изображений были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа"Geometrie descriptive".

Изложенный Монжем метод - метод ортогонального проецирования, причем берутся две проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, - обеспечивая выразительность, точность и удобоизмеримость  изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей

		В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис.1.6). Одну из плоскостей проекций П1  располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций,П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны. Плоскости проекций делят  пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат  и обозначается x12. Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.
	Рисунок 1.6. Пространственная модель двух плоскостей проекций

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси x₁₂ с плоскостью П₂(рис.1.6). Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром (Франц. Epure – чертеж.).Эпюр часто называют эпюром Монжа.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные(многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Рассмотрим способы их образования, графического задания и возможные варианты положения по отношению к плоскостям проекций.

Лекция №2-1

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций.

ТОЧКА

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

В современной математике точкой называют элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства (например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называют упорядоченную совокупность из n- чисел). Условные изобращения резьбы на чертежах Вычерчивание проекции винтовой поверхности является весьма трудоемким процессом. Поэтому на чертежах резьба изображается условно. Этюд натюрморта локальными цветами Теперь мы будем употреблять полноцветную палитру, но без черного цвета. Лучше пользоваться ограниченным набором красок. Вдоль дальнего края палитры, несколько отступив от него, выложим краски в следующем порядке: кобальт синий, хром-кобальт зелено-голубой (лучше церулеум), изумрудная зеленая, охра светлая, охра красная, умбра натуральная Однако знания свойств параллельного проецирования, позволяет сразу решить некоторые позиционные задачи Частные случаи пересечения плоскостей

 

ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. На рисунке 2.1. показана точка А и ее ортогональные проекции А₁ и А ₂.

Точку А₁ называют горизонтальной проекцией точки А, точка А₂ - ее фронтальной проекцией. Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x₁₂ и пересекающих эту ось в одной и той же точке А _x. Архитектура Запада Культура христианской эпохи

а) модель		б) эпюр
Рисунок. 2.1. Точка в системе двух плоскостей проекций

Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямых, пересекающих ось x₁₂ в точкеА_x  под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

На эпюре Монжа проекции А₁ и А₂ окажутся расположенными на одном перпендикуляре к оси x₁₂. При этом расстояние А₁А_x -от горизонтальной проекции точки до  оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_x - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁.

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи. Выполнение графических работ Тетраэдр Начертательная геометрия

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.2. Точки в различных четвертях пространства

 На рисунке 2.2 представлены точки A B C D, расположенные в разных четвертях пространства и  их эпюр (A- в первой четверти, B-во второй,C- в третьей и D- четвертой четверти)

Лекция №2-2

 

ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно  к П₁ и П₂. В соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П₁ П₂ и П₃  относятся к  основным плоскостям проекций. Виды резьб и их обозначения В технике широко применяют детали, имеющие различные резьбы, каждая из которых наиболее полно отвечает назначению и условиям работы резьбового соединения. Резьбы, применяемые для неподвижных соединений, называются крепежными. Условная живопись натюрморта чистыми красками Выложим на палитру все краски какие найдутся - чем больше, тем лучше - но без черного цвета и без белил. Пишем предмет той краской, которая ближе всего к его цвету. Свет и тень, разумеется, пишем разным цветом. Пересечение прямой с координатными осями Итальянская манера масляной живописи Техника живописи различных мастеров

а) модель Выполнение графических работ Звездчатые формы и соединения тел ПлатонаНачертательная геометрия		б) эпюр
Рисунок 2.3. Точка в системе трех плоскостей проекций

Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3. Третья плоскость, перпендикулярная и П₁,  и П₂,  обозначается буквой П₃ и называется профильной.

		Проекции точек на эту плоскость обозначаются заглавными буквами или цифрами с индексом3. Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на рисунке 2.4, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.  Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают. Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x , y  и  z  (абсцисса, ордината и аппликата).
Рисунок 2.4. Получение эпюра

Таблица 2.1.Знаки координат в октантах

Октант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
x	+	+	+	+	-	-	-	-
y	+	-	-	+	+	-	-	+
z	+	+	-	-	+	+	-	-

Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее положение.

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:

1.Пусть точки А и В (рис.2.5) расположены в первой четверти так, что:

- Y_А>Y_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₂ и ближе к наблюдателю, чем точка В

- Z_А>Z_В. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П₁ и ближе к наблюдателю, чем точка В;

- X_А<X_В. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П₃ и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А;

а) модель		б)эпюр
Рисунок 2.5. Взаимное расположение точек

2.– Y_А=Y_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₂ и их горизонтальные проекции расположатся на прямой А₁В₁// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₂.

– Z_А=Z_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₁ и их фронтальные проекции расположатся на прямой А₂В₂// x₁₂. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₁.

– X_А=X_В, то точки А и В равноудалены от плоскости П₃ и их горизонтальные  и фронтальные проекции расположатся, соответственно, на прямых А₁В₁// y и А₂В₂//z . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П₃.

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 2.6 даны три пары таких точек, у которых:

а) модель		б) эпюр
Рисунок 2.6. Конкурирующие точки

• X_А=X_D;Y_А=Y_D;Z_А>Z_D;

•   X_A=X_C;Z_A=Z_C;Y_A>Y_C;

•   Y_A=Y_B;Z_A=Z_B;X_A>X_B;

Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.

Различают: горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; фронтальноконкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

    При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

 

 

Прямая линия. Способы графического задания прямой линии.

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой  построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Условности и упрощения Для того чтобы сделать чертежи более простыми и понятными, а также с целью экономии времени при выполнении чертежа, ГОСТ 2.305—68 устанавливает следующие условности и упрощения. Гризайль натюрморта В постановке должны присутствовать белый и очень темный предметы. В этюде рисунок может быть не очень строгим, его можно сделать кистью жидко разведенной краской нейтрального цвета Пересечение двух плоскостей общего положения. Метод секущих плоскостей

Прямая линия в линейной алгебре - линия первого порядка. Общее уравнение прямой:

Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные.

 

 

СПОСОБЫ ГРАФИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы:

1.Двумя точками ( а и в ).

 Рассмотрим две точки в пространстве А и В (рис. 3.1). Через эти точки можно провести прямую линию получим отрезок [AB]. Для того чтобы найти проекции этого отрезка на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка: 

[A₁B₁]<[AB]; [A₂B₂]<[AB]; [A₃B₃]<[AB]. Техника живописи различных мастеров Леонардо да Винчи

а) модель Выполнение графических работ Профильная плоскостьНачертательная геометрия		б) эпюр
Рисунок 3.1.Определение положения прямой по двум точкам

Обозначим углы между прямой и плоскостями проекций через - с плоскостью П₁, - с плоскостью П₂, - с плоскостью П₃ и тогда получим:

А₁В₁cos 

₂₂cos 

₃₃cos .

Частный случай ₁₁₂₂₃₃ при таком соотношении прямая образует с плоскостями проекций равные между собой углы 35⁰, при этом каждая из проекций расположена под углом 45⁰ к соответствующим осям проекций.

2. Двумя плоскостями ( .

Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии).

3. Двумя проекциями.

Пусть в плоскостях П₁  и П₂ даны проекции прямых заданных отрезками А₁В₁ и ₂₂. Проведем через эти прямые плоскости  и перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные (рис.3.2а), линией их пересечения будет прямая заданная отрезком АВ, проекциями которой являются отрезки А₁В₁ и А₂В₂.

	а) непараллельная 			б) и  совпадают
Рисунок 3.2.Определение положения прямой в пространстве по двум проекциям отрезка

Плоскости   и  могут слиться в одну плоскость , если, например, проекции А1В1 и А2В2перпендикулярны оси x  и пересекают ее в одной точке (рис.3.2.б). Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой  плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П2. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве(рис.3.3).

Рисунок 3.3.  Определение положения прямой по  точке и углам наклона к плоскостям проекций

 

Положение прямой относительно плоскостей проекций. Следы прямой.

В зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения (рис.3.4). Графические обозначения материалов в сечениях В машиностроении используются детали, изготовленные из различного материала. Для наглядности и выразительности чертежей введены условные графические обозначения материалов. ГОСТ 2.306—68 устанавливает графические обозначения материалов в сечениях и на фасадах, а также правила нанесения их на чертежи всех отраслей промышленности и строительства. Живопись маслом Мастерская живописи и рисунка История искусства Многогранники как поверхности и многогранники как тела Задание многогранников Геометрическими элементами многогранников являются вершины, ребра, грани и для многогранников-тел - пространство внутри многогранника. Все элементы можно представить в виде структурированного массива точек.

Италия в эпоху возрождения Культура христианской эпохи

а) модель Выполнение графических работ Многогранники Начертательная геометрия		б) эпюр
Рисунок 3.4. Прямая общего положения

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями (рис.3.5). Для любой пары точек горизонтали должно быть справедливо равенство

z_A=z_B   A₂B₂//0x; A₃B₃//0y   x_A–x_B#0, y_A–y_B#0, z_A–z_B=0.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.5. Горизонтальная прямая

2.2. Прямые параллельные фронтальной плоскости  проекций называются фронтальными илифронталями(рис.3.6).

 y_A=y_B₁B₁//0x, A₃B₃//0z   x_A–x_B#0, y_A–y_B=0, z_A–z_B#0.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.6. Фронтальная прямая

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными (рис. 3.7).

x_A=x_B__y, A₂B₂//0z   x_A–x_B=0, y_A–y_B#0, z_A–z_B#0.

Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.7. Профильная прямая

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим.  В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Фронтально проецирующая прямая - АВ (рис. 3.8)

x_A–x_B=0

y_A–y_B#0

z_A–z_B0,

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.8. Фронтально проецирующая прямая

3.2. Профильно проецирующая прямая - АВ (рис.3.9)

x_А–x_B#0

y_А–y_B=0

 z_А–z_B=0,

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.9. Профильно-проецирующая прямая

3.3. Горизонтально проецирующая прямая - АВ (рис.3.10)

x_А–x_В=0

y_А–y_В=0

z_А–z_В#0.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.10. Горизонтально-проецирующая прямая

4. Прямые параллельные биссекторным плоскостям (рис. 3.11)

АВ бис    x_A–x_B=0; z_B–z_A=y_B–y_A; СD//2бис    x_С–x_D=0; z_D–z_C=y_C–y_D.

Биссекторной плоскостью называется плоскость проходящая через ось 0х и делящая двухгранный угол между плоскостями проекций П₁ иП₂ пополам. Биссекторная плоскость проходящая через 1 и 3 четверти называется первой биссекторной плоскостью (бис) ,а через 2 и 4 четверти - второй (бис).

5. Прямые перпендикулярные биссекторным плоскостям (рис. 3.11)

АВ2бис   x_A–x_B=0; z_B–z_A=y_В–y_А;_. СD1бис   x_С–x_D=0;z_D–z_C=y_C–y_D

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.11. Прямые параллельные и перпендикулярные биссекторным плоскостям

ЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ.

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 3.14 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ. При общей секущей плоскости для двух разных разрезов положение секущей плоскости указывается одной общей линией сечения, а стрелки, указывающие направление взгляда, наносятся на одной линии и обозначаются разными буквами Портретные зарисовки карандашом Зарисовка - это черновая проработка формы с целью выяснения основных конструктивных особенностей и характера. Пересечение прямой с поверхностью многогранника Многогранники, как поверхности, пересекаются по линии и многогранники, как тела, пересекаются по трехмерным телам. Используя теоретико-множественные операции, с многогранниками как с телами (многогранники могут быть как тела с нулевой толщиной стенок-граней), можно выполнять операции объединения, вычитания и пересечения

Дальнейшее развитие христианства в Европе Культура христианской эпохи

а) эпюр Выполнение графических работ Пирамида Начертательная геометрия		б) модель
Рисунок 3.14. Взаимное расположение точки и прямой

   В тех случаях когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П₁, П₂ или П₃. Например, прямая АВи точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости  проекций (рис.3.15).

а) эпюр		б) модель
Рисунок 3.15 Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня

Определение длины отрезка прямой линиии углов наклона прямой к плоскостям проекций.

Длину отрезка АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВС   |AС|=|A₁B₁|, |BС|= , угол угол наклона отрезка к плоскости П₁, угол наклона  отрезка к плоскости П₂. Для этого  на эпюре (рис.3.17) из точки B₁  под углом 90⁰ проводим отрезок _₁* ,полученный в результате построений отрезок A₁B₁*и будет натуральной величиной отрезка АВ, а угол B₁A₁B₁* =α. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВСвокруг стороныAС до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П₁, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Подробнее вращение вокруг оси параллельной плоскости проекций рассмотрены в разделе «Методы преобразования ортогональных проекций»Портретные зарисовки мягким материалом Мягкий материал это уголь, сангина, соус и т. д. Разница заключается в том что мягкий материал требует гораздо большей собранности. Но он обладает и дополнительными выразительными возможностями: где-то можно работать линией, где-то - сразу плоскостью, используя боковую поверхность мелка, а где-то просто размазать тон пальцем. Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой плоскости. Таким образом, чтобы построить плоскость, перпендикулярную заданной плоскости, необходимо сначала построить прямую, перпендикулярную данной плоскости, и через эту прямую провести искомую плоскостьТехника живописи различных мастеров

а) модель Выполнение графических работ Горизонтальная плоскостьНачертательная геометрия		б) эпюр
Рисунок 3.17. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к горизонтальной плоскости проекций

Для определения угол наклона  отрезка к плоскости П₂ построения аналогичные (рис.3.18). Только в треугольнике АВВ* сторонаВ*|= и треугольник совмещается с плоскостью П₂. При наличии нескольких равномерно расположенных элементов предмета (зубья колеса храпового механизма и отверстий на нем) показывают один-два таких элемента, а остальные изображают упрощенно или условно, но так, чтобы была сохранена ясность расположения всех элементов.

а) модель		б) эпюр
Рисунок 3.18. Определение натуральной величины отрезка и угла его наклона к фронтальной плоскости проекций