2. Трехмерная линейная регрессия

Задача 2. Даны результаты 11-ти последовательных наблюдений над тройкой количественных переменных (X₁, Х₂, Y):

	1	4	9	11	3	8	5	10	2	7	6	(n=11)
	8	2	-8	-10	6	-6	0	-12	4	-2	-4
	6	8	1	0	5	3	2	-4	10	-3	5

Требуется:

1. Вычислить ковариации, составить ковариационную матрицу объясняющих переменных и вектор-столбец .

2. Найти статистические оценки параметров трехмерной линейной регрессии и составить уравнение плоскости регрессии .

3. На уровне значимости проверить согласованность линейной трехмерной регрессионной модели с результатами наблюдений.

4. В случае согласованности с надежностью найти доверительные интервалы для параметров трехмерной линейной регрессии.

Решение:

1. Для вычисления ковариаций применим формулы

,

.

Вычисления средних величин, входящих в эти формулы, организуем в форме следующей расчетной таблицы:

1	1	8	6	1	64	36	8	6	48
2	4	2	8	16	4	64	8	32	16
3	9	-8	1	81	64	1	-72	9	-8
4	11	-10	0	121	100	0	-110	0	0
5	3	6	5	9	36	25	18	15	30
6	8	-6	3	64	36	9	-48	24	-18
7	5	0	2	25	0	4	0	10	0
8	10	-12	-4	100	144	16	-120	-40	48
9	2	4	10	4	16	100	8	20	40
10	7	-2	-3	49	4	9	-14	-21	6
11	6	-4	5	36	16	25	-24	30	-20
	66	-22	33	506	484	289	-376	85	142
n	6	-2	3	46	44	26,2727	-31,4545	7,7273	12,9091

Затем последовательно вычисляем ковариации:

, ,

, ,

, .

Далее составим ковариантную матрицу объясняющих переменных и вектор-столбец .

, .

2. Уравнение плоскости регрессии имеет вид . По статистическим данным найдем оценки параметров множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов. Применим известную ([4], [5]) матричную формулу

,

где ; при этом .

Развернутые формулы принимают вид

, ,

.

По этим формулам находим

;

;

.

Таким образом, уравнение плоскости регрессии имеет вид

.

3. На уровне значимости проверим согласованность линейной трехмерной регрессионной модели со статистическими данными. Это выполняется как решение следующей задачи проверки статистической гипотезы. Выдвигается гипотеза об отсутствии линейной регрессионной связи. Для проверки выдвинутой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F ([1], [2], [4]).

В случае трехмерной линейной регрессии коэффициент детерминации и статистика Фишера выражается формулами

, .

При условии справедливости гипотезы случайная величина F имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами вычисляем коэффициент детерминации и наблюдаемое значение статистики Фишера :

;

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера ([4]), исходя из равенства

, где .

В рассматриваемом случае .

Так как, , то выдвинутая гипотеза решительно отвергается, что свидетельствует о согласии линейной трехмерной регрессии с результатами наблюдений.

4. Поскольку линейная множественная регрессия согласуется со статистическими данными, найдем (с надежностью ) доверительные интервалы для параметров и плоскости регрессию

Применим известные формулы ([4]) для доверительных интервалов:

, ,

где , ,

- квантиль распределения Стьюдента порядка с степенями свободы,

; - соответствующий диагональный элемент матрицы , т.е.

; .

В данном случае

;

;

; .

Следовательно,

; .

Таким образом,

,

.

или окончательно

.