3. Праболическая (квадратичная) регрессия

Задача 3. Даны результаты 7-и последовательных наблюдений над парой количественных показателей (X, Y):

	-3	-2	-1	0	1	2	3	(n=7)
	-10	0	4	5	4	2	-2

Требуется:

1. Построить диаграмму рассеяния и убедиться, что между переменными X и Y существует нелинейная связь.

2. Считая, что регрессия Y по X представляется многочленом 2-ой степени, найти статистические оценки параметров параболической регрессии и составить уравнение линии регрессии.

3. На уровне значимости проверить согласованность выбранной параболической регрессии с результатом наблюдений.

4. Если окажется, что параболическая регрессия согласуется со статистическими данными, то с надежностью найти доверительные интервалы для параметров этой регрессии.

Решение:

1. С троим диаграмму рассеяния, нанося на систему координат экспериментальные точки . y

● 5

● - 4 ●

- 3

- 2 ●

- 1

х

-3 -2 -1 0 1 2 3

- -1

- -2 ●

- -3

- -4

- -5

- -6

- -7

- -8

- -9

● - -10

По характеру расположения экспериментальных точек имеются все основания считать, что между переменными X и Y существует нелинейная статистическая связь.

2. Пусть уравнение линейной регрессии Y по X имеет вид

По статистическим данным задачи найдем MHK – оценки параметров параболической регрессии. Применение метода наименьших квадратов приводит к следующей системе нормальных уравнений ([1], [4]):

Разделим все уравнения на и введем обозначения:

, , , ,

, , .

Тогда система нормальных уравнений примет вид:

Из первого уравнения системы выразим

и подставим во 2-е и 3-е уравнения:

В результате для определения параметров и получим следующую систему 2-х линейных уравнений:

Для вычисления коэффициентов этой системы составим расчетную таблицу:

1	-3	9	-27	81	-10	100	30	-90
2	-2	4	-8	16	0	0	0	0
3	-1	1	-1	1	4	16	-4	4
4	0	0	0	0	5	25	0	0
5	1	1	1	1	4	16	4	4
6	2	4	8	16	2	4	4	8
7	3	9	27	81	-2	4	-6	-18
	0	28	0	196	3	165	28	-92
n	0	4	0	28	0,4286	23,5714	4	-13,1429

Отсюда находим

, , ,

, .

Таким образом, система линейных уравнений имеет вид:

Решая полученную систему, находим статистические оценки параметров параболической регрессии:

, .

Следовательно, уравнение линии регрессии Y по Х принимает вид:

.

3. На уровне значимости проверим согласованность выбранной параболической регрессии со статистическими данными. Это выполняется как решение задачи проверки статистической гипотезы. Выдвигается гипотеза об отсутствии параболической регрессионной связи. Для проверки этой гипотезы используется коэффициент детерминации и применяется статистика Фишера F.

В случае параболической регрессии формула для коэффициента детерминации может быть преобразована в виду ([4])

, где

, , .

Статистика F выражается формулой

и при условии справедливости гипотезы имеет классическое распределение Фишера с и степенями свободы.

В соответствии с приведенными формулами последовательно вычисляем

, , ;

;

.

Критическое значение статистики Фишера находим по таблице квантилей распределения Фишера в соответствии с равенством:

, где .

В рассматриваемом случае .

Так как , то выдвинутая гипотеза решительно отвергается, что свидетельствует о согласии параболической регрессии с результатами наблюдений.

4. Поскольку параболическая (квадратичная) регрессия согласуется со статистическими данными, найдем (с надежностью ) доверительные интервалы для параметров этой регрессии.

Применим известные формулы ([4]) для доверительных интервалов:

;

где точность оценивания выражается равенством

;

здесь - квантиль распределения Стьюдента порядка с степенями свободы;

- исправленное среднее квадратическое отклонение остаточной компоненты («ошибки»);

- соответствующий диагональный элемент матрицы:

.

В данном случае

; ;

т.е. ; ; .

Следовательно,

; ;

; откуда находим

,

,

.

Таким образом, окончательно получаем

, ,

.