1.Понятие мн-ва. Отнош-я м/у мн-ми. Операции пересеч и объед мн-в, законы этих операций. Мн-во-некоторая совок-ть объектов. Объекты из кот состоят мн-ва – наз-ся его элементами. Мн-во обозначают большими буквами лат алфавита: А,B,C,D, а его элементы – малыми: a,b,c,d. Мн-во, кот не содержит ни 1-го элемента наз пустым. Мн-ва быв-т конеч-е и бескон-е. Отношения мн-ва: 1) пересеч-я (если элементы принадлежат к 1-му и 2-му мн-ву одновр-но); 2) включения (подмн-во, если каждый элемент 1-го мн-ва явл элементом 2-го мн-ва); 3) равенства (если 2 мн-ва состоят из одних и тех же элементов). Мн-во наз-ся универсальным, если все мн-ва явл его подмнож-ми. Пересеч-м мн-в А и В наз-ся мн-во, кот состоит из тех и только тех элементов, кот одноврем-но принадлежат и мн-ву А и мн-ву В. Объединением мн-в А и В наз-ся мн-во, кот состоит из тех и только тех элементов, кот входят хотя бы в одно из мн-в А или В. Законы пересеч-я мн-в: 1) коммутативный (перемест-й) 2) ассоциативный (сочитательный) Сочитательный закон позволяет находить пересеч-я и оъед-я 3-х и более мн-в, а также записывать выражения без скобок. 3) дистрибутивный (распределительный) (пересеч-е относительно объедин-я) 4) объединения: 1) 2) 3) 4)

2. Вычитание мн-в, дополнение к подмн-ву,декартово произаед-е 2-х мн-в и их св-ва. Разностью мн-в a и b наз-ся мн-во, состоящее из всех тех и только тех мн-в а, кот не принадлежат мн-ву b. Разность мн-в обозн-ся \. Если мн-во В явл подмн-м А, то разность мн-в А и В наз-ся дополнением В во мн-ве А и обознач-ся дополнение во мн-ве В подмн-во А. . Дополнение к подмн-ву В в универсальном мн-ве обознач-ся В'. Декартово произв-е 2х мн-в. Каждый элемент входит во мн-во только 1 раз,при этом порядок записи элементов м/б разным. Однако,часто приходится учитывать и порядок в кот наход-ся данные элементы (напр, 742 и 427-мн-во цифр одинаково, а числа разные). Вводится новое понятие кортеж-конечная упорядоченная последоват-ть (кот допускает повторение) элементов некоторого мн-ва. Элементы кортежа закл-ся в круглые или ломаные скобки. Кол-во элементов в кортеже назыв-ся его длиной, а сами элементы компонентами или координ кортежа. 2 кортежа назыв-ся равными, если имеют одинак-ю длину и их соотв-е компоненты равны. Декартово призв-е и их св-ва. Декарт-м призвед-м 2х мн-в а и b наз-ся мн-во пар,у кот первая компонента принадлежит мн-ву а,а вторая мн-ву b. Св-ва: 1) декатрово произвед-е 2 мн-в на коммутативно (нельзя переставлять мн-ва а и b) 2) дек-во произв-е не ассоциативно 3) дистрибут-й з-н относительно операций пересечения, объединения, разности мн-в как слева, так и справа выполняются.

3. Понятие комбинаторной задачи. Правила + и *. Перестановки, размещения без повторений и с повторениями, сочетание без повторений. Раздел матем-ки, кот рассматр-т задачи,связан-е с комбиниров-мэлементов мн-ва наз-т комбинаторикой. В основе всей теории лежат 2 осн правила: прав-ло суммы и произвед-я. Правило + позволяет найти число элементов в объединении 2х или неск-х мн-в, кот не пересек-ся. Комбинат-е правило + формулировка: если выбор одного объекта м осущ-ть Р1-различными способами,Р2-различными способами, отличных от предыдущ-го и т д, то выбор какого-нибудь одного объкта из все данных объектов м осущ-ть Р1+Р2+…спос-ми. Правило нахожд-я элементов декартово* в комбинаторике наз-ся правилом *. Для 2х мн-в оно формируется: если элемент х м выбрать из 1-го мн-ва n-способами, а элемент у из 2-го мн-ва m-способами, то упорядоченную пару (х;у) м выбрать m*n способами. Обобщенное правило *. Если 1-й элемент м выбрать m1 сп-ми, после этого 2-й элемент м выбрать m2 сп-ми и т д.n-й элемент м выбрать mn спос-ми, то упорядоченну n-ку элементов м выбрать m1*m2… способами. Мн-во наз упорядоч-м,если его элементы расположены в соотв-м порядке. В уроряд-м мн-ве все элементы различны.различ-е кпорядоч-я 1-го и того же мн-ва состоят из одних и тех же элементов и отлч-ся лишь порядком элементов. Перестан-й без повтор-й наз всякое упорядоченное мн-во. Теорема: число СП-в кпорядочения n-элем-го мн-ва опред-ся по формуле Рn=n!, где Рn-это число перестановок из n-элементов n!- n-факториал, n!-произвед-е все N от 1 до n (1, 2, 3… n) (напр. 3! – 1*2*3=6.). Размещение без повторений наз-ся каждое упорядоч-е к-элементное подмн-во данного n-элем-го мн-ва. Теорема:число элементов размещений из n-элем по к-элем опред-ся по формуле. A = . Сочетанием без повторений наз каждое к-ое подмн-во данного n-элем-го мн-ва обознач-ся Сn. Теорема: кол-во сочетаний без повторений из n-элем по к вычисляется по формуле С . Кол-во упорядоченных к-элем-х подмн-вданного n-элем-го мн-ва выч-ся по формуле A = . Тогда кол-во неупоряд-х подмн-в будет в к! раз меньше, чем кол-во упорядоченных т к из каждого неупоряд-го подмн-ва кот содержит к-элементов м составить к-факториал упорядоч-х подмн-в. Т. о. С = = = .

Размещения с повторениями наз кортеж длины к составленный из k-элементного мн-ва (k м/б n). Кол-во размещ-й из n-элем по к обозн-ся . Теорема: кол-во размещ-й с повторен-ми из n-элем выч-ся по формуле =nk. Перестановки с повтор-ми наз любой кортеж длины n n-элем-го мн-ва. Обозн-ся n. Теорема: кол-во различных перестановок с повтор-ми n-элем мн-ва, в кот один из элементов повтор-ся n1 раз, 2-й элемент n2 раз и т д, к-й элемент повтор nk раз вычиисл по формуле n= .

4. Понятие высказывания. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций. Высказывание-это повествоват-е предложение относит-но которого м утверждать истинно оно или ложно. Конъюнкцией выск-й А и В наз составное высказ-е А и В истинное тогда и т т, к оба высказ-я А и В истинны и ложно если хотя бы 1-но из высказ-й ложно. Обозн-ся ˄ . Можно находить конъюнкцию 3 или несколько высказываний. Она будет истина т и т т, если одновременно истинны все высказывания, кот входят в нее. Дизъюнкцией высказ-й А и В наз высказ-е А или В, кот явл истинным, если хотя бы одно из высказ-й и ложным, если оба высказывания ложны обозн-ся А ˅ В. Законы: 1) коммутативный (переместительный) з-н А˄В=В˄А; А˅В=В˅А; 2) ассоциативный (сочитательный) А˄(В˄С)=(А˄В)˄С; А˅(В˅С)=(А˅В)˅С; 3) а) дистрибутивный з-н коньюнкции относит-но дизьюнкции А˄(В˅С)=(А˄В)˅(А˄С); б) дистрибутивный з-н дизьюнкции относит-но коньюнкции А˅(В˄С)=(А˅В)˄(А˅С); 4) А˄А=А; А˅А=А; А˄И=А; А˅И=А; А˄Л=А; А˅Л=А.

5. Отрицание, импликация и эквиваленция высказываний, законы этих операций. Отрицанием высказыв-я А наз-ся высказ-е «не А», кот явл истенным, если А-ложно и ложным, если А-истенно, обозн-ся (не правда, что А). Импликацией наз составное высказыв-е, «если А,то В». Ложно т и т т, если А-истинно, а В-ложно. В остальных случаях импликация истинна. Обозн . Виды: 1) А В-прямая; 2) В А-обратная (меняем местами условие и заключение); 3) Из - противопол-я (строим отрицание условия и заключения в прямой теореме); 4) Если - противопол-но обратной или обратная противоположной. Эквиваленцией наз составное высказыв-е А т и т т , когда В, оно истинно, если оба высказывания истинны или оба ложны и ложно, если высказ-е А и В имеют разные значения истинности. Закон для отрицания высказывания: 1) закон двоиного отрицания (А= ); 2) з-н противоречия А =Л; 3) з-н исключения третьего А˅ =И; 4) з-н де Моргана а) = ˅ ; б) А˅В= ˄ . Законы для импликации: 1) з-н, кот связыв-т импликацию с отрицат и дизьюнкцией высказываний. А ˅В; 2) з-н контрапозиции А В= ; 3) з-н эквиваленции связывает коньюнкцию импликации А В=(А В)˄(В А).

6. Понятие предиката. Конъюнкция,дизъюнкция,отрицание,импликация и эквиваленция предикатов, их мн-ва истинности. Предикат-это предложение с одной или несколькими перемен-ми и кот при конкрет-х значениях перемен-х превращ-ся в высказыв-е. по числу переменных, входящих в предикат выделяют: одноместные, двуместные и т д. преликаты. С каждым предикатом связаны 2 мн-ва: 1-мн-во определения предиката (обознач-ся х-это мн-во тех значений переменной, при кот предикат обращ в высказывание); 2-мн-во истинности предиката-это мн-во тех знач переменной из области определения при кот предикат превращается в истинное высказывание Т . обноместные преликаты обозн А(х), х Х(читается- на мн-ве А задан предикат) (напр. А(х): число х-простое). 2 предиката А(х) и В(х) заданные на одном и том же мн-ве х наз-ся равносильным (эквивалентным), если они имеют одно и тоже мн-во истинности и запис-ся А(х) В(х).(напр А(х):х+2=4, х N; В(х): -4=0,х N. = , А(х) В(х)). Предикаты: элементные, составные. Состав-е образовыв-ся из элементарных при помощи логически связанных высказываний. Отрицанием предиката А(х) наз-ся предикат не А(х),записанный на том же мн-ве х. он истинен при тех значениях, при кот предикат А(х) ложен. Конъюнкцией А(х) и В(х) наз-ся составной предикат А(х) и В(х) заданный на том же мн-ве х. Он истинен когда одновременно истинны оба предиката А(х) и В(х). Мн-во истинности конъюнкции предиката А(х) и В(х) явл перечисление мн-в истинности предикатов. Дизъюнкцией наз-ся составной предикат А(х) и В(х) задан на том же мн-ве х. А(х) В(х) / А(х) или В(х), х Х. он истинен тогда, когда хотя бы 1-н из предикатов истинен. Импликацией наз-ся составной предикат А(х) В(х), ели А(х), то В(х) задан на том же мн-ве х. Он ложен когда А(х)-И, а В(х)-Л, при остальных И. Эквиваленцией наз-ся составной предикат А(х) В(х), х Х. Истинно только когда оба И или оба Л, при остальных ложно.

7. Матем-е понятия. Объем и содерж-е понятия. Способы определения понятий. Требования к определению понятий. Объем понятия-это мн-во объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Если объем понятия А явл частью объема понятия В ( ) ) понятие А наз-т видовым по отношению к понятию В, а понятие В родовым по отношению к В (напр. Понятие ромб явл видовым понят-м параллелограмма, а понятие параллелограмм это родовое понятие для ромба). Содерж-е понятия-это совокупность св-в данного понятия. М/у объемом и содерж-м понятия сущ-т связь:чем больше объем понятия, тем меньше его содержание. Чем больше содержание тем меньше его объем. Понятие-логич-я операция, кот раскрывает содержание понятия. Осн сп-бы определения понятий: 1) определение понятия ч/з род и видовое отличие. При этом СП-бе указыв-ся более общее родовое понятие, а затем указыв-ся видовое отличие, то св-во кот выделяет данный вид издр видов данного рода. Определение понятия = родовое понятие + видовое понятие (напр. Квадрат=это прямоугольник, у кот все стороны равны); 2) генетические. Указывает на происхождение понятий(сфера, окружность…); 3) аксиоматический сп-б-определение понятия ч/з с-му аксиом; 4) индуктивный сп-б. Это сп-б получения все элементов понятия арифм и геометр прогрессии; 5) контекстуальные определения. Опред-е понятия ч/з текст; 6) Остенсивные определения- определение понятия ч/з демонстрацию. Осн требования к опред понятий: 1) определяемое и определяющее понятие д/б соразмерным (их объемы д совпадать); 2) в определении понятия д/б указаны св-ва, кот позволяют выделить данный объект среди мн-ва др объектов; 3) отсутствие в отрицании избыточности; 4) запрещается порочный круг. Нельзя определить понятие ч/з само себя или понятие определить ч/з другое ч/з первое; 5) определяемый объект д существовать.

8. Понятие об уравнении с 1-й переменной и мн-ве его решений. Равноильные уравнения. Теоремы о равносильных уравнениях. Пусть f(х) и g(х)-выражения с 1й переменной, заданные на мн-ве х предикатами вида f(х)=g(х), заданный на мн-ве х наз-ся уравнением с 1й переменной. (напр. 2х+3=3х-8,х R).корнем уравнения наз-ся значение переменной из области определения при кот ур-ие преврашается в верное числовое равенство. Решить уравнение, значит найти мн-во корней этого уравнения. Уравление (х) явл следствием уравн-я (х), если мн-во корней 2-го уравн-я явл подмн-м мн-ва корней 1-го уравн-я или уравн-е (х) явл следствием уравн-я (х), если каждый корень 2-го уравн-я явл корнем уравн-я 1-го. (2) (1). Теорема 1 о равенстве уравн-й и следствия из них. Если к каждой части уравн-я n f(х)=g(х) заданных на мн-ве х, прибавить одно и тоже выражение с переменной, n(x), заданное на том же мн-ве х, то получим уравн-е f(x)+h(x)=g(x)+h(х) равносильно данному. Следствие из теорем: 1) к каждой части уравн-я м прибавить одно и тоже число; 2) слагаемы в уравн-и м переносить из одной части уравн-я в другую с противоположным знаком. Теорема 2. Если каждую часть уравн-я f(х)=g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выражение h(x) заданного на томже мн-ве х и не равно 0, то получим уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(х) равносильно первому. Следствие: обе части уравн-я м умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля.

9. Понятие о нер-ве с 1й переменной и мн-ве его решений. Равносильные нер-ва. Теоремы о равносильных нер-вах. (Напр 1-х 3х-2,х Х – это предложение явл предикатом, такие предикаты наз-т нер-ми с 1й переменной). Предикатом вида f(х) g(х) или f(х) g(х) заданный на мн-ве х наз-ся нерав-м с 1й переменной. Мн-вом решений нер-ва f(х) g(х) заданным на мн-ве х наз мн-во истинности этого предиката, а каждый элемент этого мн-ва наз-ся решением нер-ва. Значение перемен-й х=а, при кот нер-во превращается в истинное числовое нер-во назыв его решением. Если кажд решение 1го нер-ва явл решением 2го нер-ва, то 2-е нер-во наз следствием 1го. 2 нер-ва наз равносильными, если их мн-во решений совпадают. Теорема 1 о равносильности нер-в. Если в каждой части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве прибавить одно и тоже выражение с переменной h(x), x Х, то получим нер-во f(x)+h(x)=g(x)+h(х) равносильное исходному. Следствие из теоремы: 1) если к каждой части нер-ва прибавить одно и тоже число, то получим нер-во равносильное данному; 2) члены нер-ва м переносить из 1й части в другую с противопол-м знаком. Теорема 2 Если обе части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выражение с переменной h(x) заданное на томже мн-ве х и положит-е на нем, то получим нер-во f(x)*h(x) g(x)*h(х) равносильное исходному. Следствие из теоремы: если обе части нер-ва умножить на одно и тоже положит-е действительное число, то получим нер-во равносильное данному. Теорема 3 Если обе части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выраж-е с переменной h(х) заданного на том же мн-ве х и отрицательное на нем, то получим нер-во f(x)*h(x) g(x)*h(х) равносильно данному. Следствие: если обе части нер-ва умножить на одно и тоже отрицат-е действ-е число и при этом знак нер-ва поменять на противопол-й, получим нер-во равносильное данному.

10. Бинарные отношения м/у элементами 2х мн-в, сп-бы из задания. Виды отношений м/у элементами 2х мн-в. Бинарным соответствием м/у элем-ми мн-в х и у наз любое ( декартово произ-е этих мн-в. Обознач-ся больш буквами лат алфавита, обычно не первые а кот стоят в конце алфавита (R,S,T..). для задания соответствия м/у элементами мн-в х и у надо указать ( дек-во произв-е х и у – это подмн-во обознач-ся Г. Соответствие – упорядоченная тройка мн-в, где (Х, У, Г), где Г(х*у. если а и b элементы мн-в Х; У, т. е. а х, b у и элемент а наход-ся в соответствии R с элементом b, то это запис-ся- aRb, (a,b) R(элемент а наход-ся в соотв-и Rс элементом b). Мн-во х наз-ся мн-ом отправления соответствия R, а мн-во у мн-ом прибытия соответст-я R. Мн-во 1х компонентов пар, кот соответ-ю R наз областью опред-ия соответствия, а мн-во др компанентов пар наз мн-ом значений соответствия. Т. к. соотв-е это мн-во, то его м задать теми же сп-ми, что и любое мн-во . 1) Если мн-во х и у конечные, то соотв-е м задать перечислением. Форма записи пар м/б различной: а) в виде мн-ва; б) таблицы; в) графа; в виде рисунка, в кот мн-во х и у показывают авалами. Элементы мн-в х и у обозн-т авалами, элементы обозн-т точками, а соответствие стрелками. 2) указание характеристич-го св-ва всех пар, кот соответствию R. 3) если мн-во х и у числовые, то соответствие м/у элементами этих мн-в м задать при помоши графика на координатной пл-ти. Соответствие R наз полным, если график Г совпадает с декартовым * мн-в (х;у) (Г=х;у). Если график соответствия R есть пустое мн-во, то соответствие R наз пустым. Соответствием, обратным соответствию R м/у элементами мн-в (х;у) наз соответствие м/у мн-ми у и х такое, что У Х тогда и т т , к х R у. для того, чтобы получить обратное соответв-е необходимо поменять местами компаненты пар. Для того, чтобы построить граф обратного соответствия достаточно поменять направление всех стрелок в графе в соответст-и с R. Если мн-во х и у числовые, то графики соответст-я R симметричны относительно биссектрисы 1го и 3го координат-х углов. Соответст-е, график кот явл дополнение-м графика соответст-я R до декарт-во * мн-в х и у наз противопол-м для соответст-я R и обознач-ся . соответст-я наз взаимнопротивопол-м. Графики взаимнопротивопол-м соответствий не пересекаются, а их объединения есть мн-ва.

11. Бинарные отнош-я м/у элементами 1го мн-ва. Св-ва отношений. Отношения эквиваленции и порядка. Если мн-во х и у совпадают, то говорят не об соответствии, а об отношениях м/у элементами мн-ва х. Бинарным отношением м/у мн-ми наз всякое подмн-го Г декартово * мн-в Х*Х. Т. о. бинарное отношение R, заданное на мн-ве х-это пара мн-в (Х;Г), где х-это мн-во задания отнош-я R, а Г-график отношен-я R и график (Г(Х*Х). Т.к. отношение – есть частный случай соответствия, то все сказанное выше соответствия остается истинный и для отношений. Св-ва отношений: 1) отношение R на мн-ве х наз рефлексивным, если любой элемент из мн-ва х находится в отношении R с самим собой; 2) отношение R на мн-ве х наз антирефлексивным, если ни один элемент мн-ва х не наход-ся в отношении R с самим собой; 3) отношение R на мн-ве х наз симметрич-м, если для любых 2 элементов х и у из мн-ва х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х; 4) отношения х на мн-ве R наз антисимметричным, если для разным элементов х и у из мн-ве х из того, что элемент х наход-ся в отношении R с элементом у, следует, что элемент у не наход-ся в отношении R с элементом х; 5) отношение R на мн-ве х наз транзитивным, если для любых элементов х;у;z из мн-ва х, из того , что элемент х наход-ся в отношении R с элементом у, а элемент у нах-ся в отношении R с элементом Z, следует что элемент х наход в отнош-и R с элементом Z. Отношением эквиваленьности – если оно рефлексивное, симметричное, транзитивное. Примером отнош-я эквивалентности явл отношение параллельности на мн-ве прямых пл-ти: 1) любая прямая параллельна самой себе, данное отношение рефлексивно; 2) если а b, то b‖а, отнош-е симметрично на мн-ве прямых; 3) если а‖b, b‖c, a‖c, отношение транзитивно. Каждое отношение эквивалентности разбивает мн-во, кот оно разбивает на классы. Отношение R на мн-ве х наз отношением порядка, если оно на этом мн-ве облад-т свойствами антисимметричности и транзит-ти Св-ва: антирефлексивно, антисимметр-но, транзитивно. Различают порядок строгий и нестрогий. R на мн-ве х наз отношением строгого порядка, если оно антирефл, антисимметр, транзит. Отнош-е R наз отнош-е нестрогого порядка, если отнош-е Rрефлек, антисимм, транзит. Порядок бывает линейным и частичным. Отнош порядка R (строгого или нестрогого) на мн-ве х наз отнош-м линейного порядка, если оносвязное, т е любые 2 элемента из мн-ва х связаны этим отношением. Если отнош-е R таким св-вом не обладает, то его наз частичным

12. Фунциональные отношения. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их св-ва и графики. Прямая прапорц-ть – наз ф-ция, кот м/б задана при помощи формулы вида y= , где х- независимая переменная, а R-действительное число. Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности R, достаточно знать пару соотв-х значений(х;у), за исключ пары (0;0), т к R= . Св-ва: 1) область определ (Д). Д(у)= R; 2) Мн-во значений (Е). Е(у)= .; 3) Ф-ция нечетная у(-х)=-у(х). Док-во: у(-х)= R(-х)=- Rх=-у(х); 4) прямая пропорц-ть при к=0 явл постоянной у=0. При к>0 –возраст; при к<0-убывающая; 5) если задана прямая пропорц-ть у= Rх и 2 пары соотв-х значений переменных ( ; ) и ( ; ), то имеет место равенства: = ; 6) График ф-ции у=Rх есть прямая, проходящая ч/з начало координат. Обратная пропорц-ть наз ф-ция, кот м задать формулой вида у= , где х-независимая переменная, а R-действ-е число 0. Число R-наз коэф обратной пропорц-ти и R=ху. Св-ва: 1) Д(у)=(- ;0) (0;+ ); 2) Е(у)=(- ;0) (0;+ ); 3) ф-ция нечетная у(-х)=-у(х); 4) на интервале от (0;+ ) ф-ция убывает, при R 0, возрастает при R 0. 5) основ-е св-во обратной пропорц-ти. Если задана обратная пропорц-ть у= и 2 пары переменных ( ; ) и ( ; ), то имеет место равенство / = . Док-во: пусть = , = , тогда : = . 2 величины наход-ся в обратной пропорц-й зависим-ти, если с увелич-м (уменьшен-м) в неск раз одной из них вторая уменьш-ся (увелич-ся) во столько же раз. 6) графиком обратной пропорц-ти явл гипербола.

13. Понятие об алгебраической операции. Законы коммутативноти и ассоциативности алгебраических операций. Дистрибутивные законы, связывающие 2алгебраические операции. Нейтральный, поглощающий, симметричный эл-ты.

Определение: Алгебра-ой операцией на мн-ве х наз. отображение (х:у)-> Z кот. ставит каждой упорядоченной паре (Х:У) этого мн-ва третий эл-т Z этого же мн-ва. Закон коммутативности: алгеб. опер. Наз. коммут. Если рез-т ее применения не зависит от порядка компонента, т.е. для 2х эл-ов (а;в)€х вп-ся рав-во а*в=в*а.

Закон ассоциа-ти: алгеб. опер. на мн-ве Х наз. ассоц-ой, если для любых 3 эл-ов выпол-ся рав-во (а*в)*с=а*(в*с). Закон дистрибутивности:

Ноль это нейтральный эл-т относ-но опер-и сложения, а 1- относ-но опера-и умножения. Эл-т е из мн-ва х наз. нейтральным относ-но операц-и *, если для любых эл-ов а€х выпол. Равен-во а*е=е*а=а. Поглощающий эл-т: Число 0 отыгрывает особую роль не только отно-но опер-и слож-я, но и относ-но опер-и умнож-я. А*0=0. Говорят, что 0 явл. поглощ-м эл-ом относ-но опер-и умнож-я.Во мн-ве х не м/б 2х разных поглощ-х эл-ов отно-но опер-и *. Симметричный эл-т: Пусть во мн-ве х сущ. нейтрал. эл-т Е отно-но опер-и *. явл.симметр., а если выпол. рав-во а*а=а*а=l.

14. Понятие преобразования плоскости. Перемещения плоскости, их виды.

Рассмотрим геометрич. преобр-ие, при кот. сохр-ся форма и размеры фигур, а меняется их расположение на плоскости. Такие преоб-я наз-ся перемещением. Определ-ие: Преобраз-ие плоскости при кот. кажд. Отрезок АВ переходит в равный ему отрезок А1В1 назыв. перемещением плоскости. Виды плоскости: 1) осевая симметрия с осью е наз-ся такое перем-е плоскости при кот. точки прям. Е отобрах-ся сами на себя а полуплоскости с границей е отобр-ся одна на другую.2) параллельный перенос- отображение плоск-ти на себя, при кот. все точки плос-ти перемещ-ся в одном и том же направлении на одно и то же расс-е. 3) поворот пло-ти- вокруг точки о наз-ся приоб-ие плос-ти, при кот. точеа о отобр-ся сама на себя, а произ-ся т.А плоскости отоб-ся в такую т. А1, что 1) <АОА1=Z, 2)АО=А1О Т. о наз-т центром поворота, если угол задан полож-м числом, то условились поворот произ-ть против часовой стре-ке, если отриц-й, то по часовой стрелке. 4) перемещение – центральной симметрией с центром О наз-ся поворот вокруг т. О на <180. В т. А и А1 лежат на одной прямой кот. прох-т через центрО и по разные стороны от центра: т.к. цент-я симметрия частный случай поворота, то она яв-ся перемещением.

15. Преобразование подобия. Гомотетия.

Останов-ся на преобраз-и, оставляющих неизменными только форму фигур, такие преобразования наз-ся преобр-ми подобия. Св-ва подобия: 1) подобие с коэф-ом 1-ца яв-ся перемещением.Док-во:

2)Для подобия с коэф-ом R сущ-ет обратное подобие с коэф-ом 1/R. Док-во:

3)Композиция подобий есть подобие. Док-во:

Одним из видов подобия на-ся гомотетия. Опред-е: гомот-й с центром О и коэф-ом R=/0наз-ся приобраз-ие плоскости. Частные случаи гомотетии: 1) гомотетия с коэф-ом =1 яв-ся тождественным приобрет-ем Но1=Е.Док-во:

2) гомотетия есть центральная симметрия. Док-во:

16. Теоретико-множественный смысл колич-го натур-го числа и нуля. Отношения равенства и неравенства на мн-ве целых неотриц-х чисел.

Колич-м натур. числом назыв. число, кот. показыв. ск-ко эл-ов содерж. в данном мн-ве. Пусть мн-во А и В таковы, что им соот-т одно и тоже число «а». n(А)=а, n(В)=а. Это значит, что их можно отобразить взаимооднозначно др. на др. и на один и тот же отрезок N ряда чисел. Два мн-ва, кот. можно взаимооднозначно отобразить др. на др. явл. равномощными=» для конечных мн-в утверждение: мн-во А равномощно мн-ву В=утверждению: мн-во А и В содер. одинак. кол-во эл-ов, т.е. им соотв-ет одно и тоже N число. Т.к. любому конеч. мн-ву соот-т лишь 1 N число, то вся сов-ть конеч. мн-в распа-ся на классы равномощных мн-в. Число а=в тогда и только тогда когда они опред-ся равномощ-ми мн-ми.

Св-ва отношения «=»: 1) Рефлексивность а=а, 2) Симметричность если а=в, то в=а, 3) Транзитивность если а=в,в=с, то а=с. Отношение «<»: 1)Число а<в тода и только тогда, если мн-во А собственному подм-ву В1, мн-ва В и n(А)=а, n(В)=в. 2)Число а<в «=» когда сущ-ет N число с, такое что в=а+с

3)а<в,тогда и только тогда, когда отрезок N ряда чисел Nа явл. собств. подм-м отрезка N ряда чисел Nв.

Св-ва:1) антирефлекс. а</а, 2) антиссиметр. a<в=»/в<а, 3) транзитивность а<в, в<с=»а<c. Т.о. отношение «<» явл. отношением строгого линейного порядка.