Глава 3 Дискретное преобразование Фурье. Общие свойства.

Вспомним, что этот спектр является периодическим

0 _g

Рассмотрим дискретные отчеты по частоте

(*) – периодическая по N

Рассмотрим в виде по интервалам длинойN:

лин преобраз

ВРЕМЕННАЯ ОБЛАСТЬ ЧАСТОТНАЯ ОБЛАСТТЬ

x(t) F()

0 T t F() 

x(t)

t -_r _r 

x_g (t) F_g()

t 

x_g(it) F_g(i)

t 

Выводы:

1. T – велико

2.

нет искажений

3. N – отчетов по   во времени период N

Нет искажений для

Дискретизация в частотной области.

Вспомним преобразование Фурье дискретного апериодического сигнала:

Вычислим значения этого выражения через равные интервалы = (2/N)k

Операция суммирования может быть разбита следующим образом:

Если мы поменяем операции суммирования местами:

Сигнал:

Периодически повторяет x (n) через каждые N точек. Его ряд Фурье задаётся следующим выражением:

Восстановление сигнала из преобразования Фурье.

Так как x_p(n) – периодически повторяемый x(n),

ТОЛЬКО когдаNL:

Если N<=L, мы имеем эффект наложения в частотной области:

ПринимаяNL,

Мы можем записать преобразование Фурье в виде:

Это выражение можно упростить:

где

Каков смысл этого уравнения?

Интерполяция в частотной области через ноль-padding.

Предположим: x(n) = 0 дляn<0 иnL. Определимxp(n):

Мы определили дискретное преобразование Фурье (ДПФ)x(n) как:

Иобратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ):

Ясно, что это выполняется, если L>N, x(n) = 0 для L≤ n ≤ N-1.

Пример: f₁ = 999,0 Гц, f₂ = 1199,0 Гц, f₃ = 8000,0 Гц

ДПФ как линейное преобразование.

Мы можем переписать ДПФ в следующем виде:

где

- N-й корень

Мы можем выразить ДПФ как матричную операцию, определив:

И переписав ДПФ:

ИОДПФ:

Матричные операции ДПФ.

Заметим, что используя наше определениеW_N, ОДПФ может быть выражено следующим образом:

Таким образом, мы можем уравнять выражения для ОДПФ и записать:

Что с другой стороны означает, что

гдеI_N - матрица, размера NxN.

Таким образом, W_N – ортогональная (унитарная) матрица и существует обратная ей матрица.

Можем ли мы уменьшить количество вычислительных операций, требуемых для X_N?

Свойства ПДФ

1. Линейность

2. Периодичность

F(n+kN) = F(n)

3. Сдвиг

4. Симметрия

n N/2 n

(апериодическая)

(циклическая)

Применение ДПФ для гармонического анализа.

полигармонический процесс

k=1,2,3,…

Это звукоряды

₀ 2₀ n₀

получаем выражение для дискретизованного сигнала

Вычисляем ДПФ

1) q – целое 

n = q mod N

получаем сумму корней N -ой степени из единицы, она равна 0.

На рисунке показано что сигнал с частотой q=3 и q=3+i*N отображается в ДПФ как частота q=3, а в остальных частотах F(n) = 0, т.е. имеет место идеальное обнаружение гармонического сигнала.

F(n)

F(3)

AN

0 q=3 N-1 q=N+3 n

2. q – не целое

F(n)=f (q)

Получили выражение для частотной характеристики спектра ДПФ.