- •1.Пряма на площині.
- •2. Лінії іі порядку.
- •3 Скалярний, век, міш добутки векторів.
- •2) Дистрибутивність. Дов.
- •4.Площина в просторі.
- •5. Пряма в просторі. Способи задання:
- •6. Циліндричні та конічні поверхні. Поверхні обертання.
- •8. Група рухів площини. Задання рухів.
- •9. Група перетворень подібності. Гомотетія.
- •10. Група афінних перетворень. Задання афінних перетворень.
- •11. Проективний простір. Принцип двоїстості. Т. Дезарга
- •12. Група проективних перетворень площини. Аналітичний запис
- •13. Система акс Вейля, повнота і несуперечливість.
- •14. Акс. І площина Лобачевского. Наслідки.
- •15. Многокутники. Площа мн-ка .Th існування та єдиність
- •16. Геометричні побудови на пл. Система постулатів побудов.
- •17. Топологічні простори. Гомеоморфізми. Ейлерова х-ка
- •18. Зображення плоских і простр фігур у парал проекц Теор Польке
- •19. Лінії в евкл просторі кривизна та скрут лінії Френе
- •20. Поверхні в евкл прост дот площина і нормаль до поверх
13. Система акс Вейля, повнота і несуперечливість.
Система акс Вейля 3-вимірн евкл простору склад з 4-ох груп аксіом, які визначають основні властивості точок векторів та вказаних відношень:
1. Акс векторн простору.
2. Акс розмірності.1) n лін незал векторів.
2) n+1 вектори є лін незал.
3.Акс скаляр добутку: 1)
2)
4)
4.Акс точок: 1) 2) .
Т: Система акс Вейля є несуперечливою за умови несуперечливості теорії дійсних чисел.
Дов. побуд модель, у якій вектори задаються дійсними матрицями 1*3, а точки дійсними матрицями 3*1. відношення визначатимуться так:
1) (a1a2a3)+(b1b2b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2)
4) Покажемо що побуд модель задов систему акс Вейля (Залишається перевірити акс 4-ї групи) 1) Акс відкладання векторів: нехай дано Шукатимемо т. В,щоб . Припустимо, що, тоді АВ= (b1-a1;b2-a2lb3-a3) з рівності векторів АВ та р випливає, що b1-a1=p1, b2-a2=p2, b3-a3=p3, b1=a1+p1, b2=a2+p2, b3=a3+p3 . отже, шукана точка існує і визначається однозначно.
2) Нехай дано 3 точки
Знайдемо вектори АВ=(b1-a1,b2-a2,b3-a3),
ВC=(c1-b1,c2-b2,c3-b3), Аc=(c1-a1,c2-a2,c3-a3). АВ+ВС=АС. Доведено.
Теорема: Система аксіом Вейля категорична. щоб викон умова ; тоді
b1-a1=p1; b2-a2=p2; b3-a3=p3 2)правило трикутника:
Знайдемо і обчислимо їхню суму (b1-a1,b2-a2,b3-a3)+(c1-b1,c2-b2,c3-b3)=(c1-a1,c2-a2,c3-a3)= Т:система акс Вейля є повною. Дов нех дано 2 моделі аксіоматики Вейля. Дост довести, що вони ізоморфні. Зафіксуємо в обох моделях по точці відповідно, і по ортонорм базисі (i,j,k), (i’,j’,k’). Таким чином в обох моделях буде визначено ДСК. В цих ДСК операції над векторами, точками визначаються однозначно, то моделі ізоморфні.
14. Акс. І площина Лобачевского. Наслідки.
5 постулат:Якщо 2-х пр при перетині січною утвор внутр одностор кути, сума яких менша 2d (d=900) то ці пр перетинаються з того боку від січної з якого сума кутів <2d. Аксіома Лоб: через т. поза даної пр можна провести хоча б 2 пр., які не перетинають задану пряму.
Наслідок: Через т. поза даною пр. можна провести беьзліч пр., які не перет заданої.
Т:кут // визначається лише відстанню від т. до прямої. Ф-ція: позначимо через відстань від т. до пр., -відпов кут //. Тоді - ф-ція Лобачевского. Вигляд ф-ції П: -const; м-на значень ф-ції
;П(х)-спадаюча. Модель Келі-Клейна: Нех Р2-проект пл., - овальна лінія – абсолют. - внутрішність лінії що наз пл. Лобачевского. Точками на пл. Лоб будуть ті проект т. які містяться в середині абсолюта, прямими–ті частини проект пр які , т.т хорди абсолюта без кінців. Віднош належності точок і прямих на пл. Лоб визначається як належність проект т. відповідній частині (хорді) проект пр. Очевидно т. які прямій і які пр . пара точок визначає проект пр., відповідно і хорду. Поняття довжини відрізка і величини кута ввод за допом складного відношення. Наприкл., т.А та В тоді , де r – деяке фіксоване додатнє число.