МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ДНЕПРОПЕТРОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. О.ГОНЧАРА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Курсовая работа
по асимптотическим методам в теории
дифференциальных уравнений
Выполнил: студентка группы ММ-09-01
Когут Я.П.
Проверил: профессор кафедры
дифференциальных уравнений
Остапенко В.А.
г. Днепропетровск
2011 г.
Содержание
Введение………………………………………………………………………3
Теоретическая часть …………...…………………………………………...4
Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы………….......4
Система Ляпунова.…………………………………………….4
Приведение к каноническому виду. …………………………4
Преобразование интеграла H. ………………………………..5
Периодичность решений системы Ляпунова. ………………5
5. Теорема Ляпунова. ……………………………………………7
Раздел 2. Условия существования периодических решений.…………..…..10
1. Необходимые и достаточные условия периодичности. …….10
Раздел 3. Метод Ляпунова. ………………………………………………………13
1. Алгоритм. ……………………………………………………..13
Практическая часть ……………………………………………………….16
Список литературы ………………………………………………………..17
Введение.
Метод Ляпунова ─ Пуанкаре посвящен изложению основ классической теории периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых являются аналитическими функциями своих переменных. Эта теория возникла из работ Ляпунова и Пуанкаре в конце 19 века и в последующие десятилетия получила дальнейшее развитие. В ней появились новые точки зрения, расширился круг изучаемых вопросов. Наряду с исследованиями теоретического характера продолжилась дальнейшая разработка методов эффективного построения периодических решений.
Начиная с двадцатых годов прошлого века, теория Ляпунова ─ Пуанкаре благодаря работам Андронова и Мандельштама находит широкое применение в теории колебаний. Большой вклад в дальнейшее развитие классической теории периодических решений сделали И. Г. Малкин и Г. В. Каменков.
В этой курсовой работе будет рассматриваться алгоритм построения периодического решения задачи Коши системы дифференциальных уравнений
Теоретическая часть
Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы. Система Ляпунова.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(1.1)
где
и
─ аналитические функции своих переменных
в окрестности точки
и такие, что их разложение по степеням
и
начинается с членов, порядок которых
не ниже второго:
(1.2)
Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполняются следующие условия:
уравнение
(1.3)
имеет
чисто мнимые корни
;
система (1.1) допускает аналитический первый интеграл
, (1.4)
разложение
которого по степеням переменных
и
начинается с членов второго порядка
малости, т. е. функция
в окрестности точки
является аналитической функцией своих
переменных и представима в следующем
виде:
