- •Курсовая работа
- •Содержание
- •Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы………….......4
- •Раздел 2. Условия существования периодических решений.…………..…..10
- •Раздел 3. Метод Ляпунова. ………………………………………………………13
- •Введение.
- •Теоретическая часть
- •Раздел 1. Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы. Система Ляпунова.
- •Приведение к каноническому виду.
- •Преобразование интеграла h.
- •Периодичность решений системы Ляпунова.
- •Теорема Ляпунова.
- •Теорема Ляпунова.
- •Раздел 2. Условия существования периодических решений Необходимые и достаточные условия периодичности.
- •Раздел 3. Метод Ляпунова. Алгоритм.
- •Практическая часть Индивидуальное задание Список литературы.
Раздел 2. Условия существования периодических решений Необходимые и достаточные условия периодичности.
Рассмотрим систему:
(2.1)
Сначала мы не будем делать никаких предположений о природе коэффициентов , кроме предположения об их периодичности по .
Пусть и ─ решение системы (2.1), удовлетворяющее следующим данным Коши:
, .
Для того чтобы это решение было периодическим с периодом , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяющее следующим условиям:
, . (2.2)
Очевидно, что условия (2.2) необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет условиям:
, (2.3)
каково бы не было . Условия (2.2) являются частным случаем (2.3) при . Эти условия являются так же достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) ─ периодические функции времени периода и, следовательно, они инвариантны относительно замены переменного , тогда в силу (2.2) по и мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно,
;
или
; .
Так как это равенство справедливо для любых , то оно совпадает с (2.3) и, следовательно, функции и ─ периодические.
Предположим далее, что система фундаментальных решений системы:
(2.4)
нам известна. Обозначим эти функции через , , и , и решение системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая
, . (2.5)
где и ─ некоторые функции времени, подлежащие определению.
Подставим выражения (2.5) в (2.1). Принимая во внимание, что функции , , и удовлетворяют системе (2.4), мы получим следующие уравнения для определения функций и ;
, ,
откуда
(2.6)
где и ─ новые произвольные постоянные, а ─ определитель Вронского
.
Постоянные и определяются из начальных условий , при . Так как интегральные слагаемые в выражениях (2.6) при обращается в нуль, то постоянные и определяются из уравнений
(2.7)
Используя полученные выражения, выпишем теперь условия периодичности (2.2)
(2.8)
Для того чтобы система (2.1) допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.8).
Рассмотрим эти условия для некоторых специальных случаев, так как это будет играть в дальнейшем изложении особую роль.
Сначала рассмотрим тот частный случай, когда фундаментальные решения - периодические функции, Заметим, что уравнения в вариациях, отвечающие изохорным системам, т. е. системам, период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют периодические решения.
Так как C и D – постоянные числа, то в силу периодичности функции и из (2.7), мы получаем следующие условия:
(2.7’)
Равенства (2.7’) позволяют упростить систему (2.8), которую можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраических уравнений относительно интегралов
.
Перепишем эту систему в следующем виде:
(2.9)
Определитель системы (2.9) есть определитель Вронского для функций . В силу независимости этих функций он отличен от нуля. Таким образом, система (2.9) имеет только тривиальное решение. Поэтому
(2.10)
Итак, мы пришли к следующему результату: если фундаментальное решение системы (2.4) выражается периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было периодическим необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.10).
Сейчас рассмотрим тот частный случай, когда система (2.1) имеет вид
(2.11)
Система (2.11) сводится к уравнению колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы
где
Линейно независимые решения системы (2.11) имеют вид
(2.12)
Определитель Вронского этих функций равен единице, поэтому условия (2.10) будут приведены к такому виду:
(2.13)