Теорема Ляпунова.

Теперь вычислим период, для этого составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные ρ и θ. Вычислим

(1.15)

Заменяя в системе (1.15) производные и их выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно производных и , найдем искомые уравнения

(1.16)

Из второго уравнения определим t:

(1.17)

Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо константу (1.17) принять равной нулю. Используем тот факт, что ρ - аналитическая функция μ. Это позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням μ

(1.17’)

где - периодические функции θ периода 2π. Следовательно, подынтегральная функция в (1.17’) также периодическая функция θ периода 2π. Следовательно, интеграл

не зависит от θ₀ и его можно записать в виде

,

где - вполне определенные числа. Таким образом, при измени θ на 2π время t получает приращение Т

, (1.18)

не зависящие от θ₀.

Пусть теперь Ф(θ) – некоторая периодическая функция θ периода 2π, тогда

. (1.19)

Рассматривая ее как функцию t, будем иметь

. (1.20)

Равенство (1.19) справедливо для любых θ, следовательно, и равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(t) – периодическая функция t. Значит, величина Т, определенная формулой (1.18) как функция μ, и есть период решения.

Используя (1.17), мы можем записать его в следующем виде:

где период Т стремится к периоду линейных колебаний 2π/λ, т. е. к периоду колебаний в системе (1.8) при .

Покажем теперь, что Т- четная функция μ. Вернемся сова к интегралу (1.11). рассматривая его как уравнение относительно ρ, мы получаем в окрестности точки ρ=0 два решения. Одно из них

(1.21)

другое

(1.21’)

Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.11) не изменится, если заменим ρ на -ρ и θ на θ + 2π. Следовательно, на основании (1.21) будем иметь

(1.22)

Значение ρ, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.11), не совпадающее с (1.21) (потому, что для малых ρ из (1.21) следует ρ = μ+О(μ²), а из (1.22) ρ = - μ+О(μ²)). Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21’).

Сравнивая (1.21’) и (1.22), получаем

и т.д.

Отсюда следует, что если в выражении (1.21) заменить μ на – μ, а θ на θ + π, то величина ρ примет свое значение с обратным знаком:

.

Выпишем теперь выражение для периода Т. На основании (1.17) имеем

. (1.23)

Сделаем замену в (1.23) замену μ на –μ, а θ на θ + π. Тогда получим величину

.

Согласно доказанному величины и сохраняют свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функциях Х и Y. В то же время , и изменяют свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,

.

Итак,

,

т. е. период – четная функция величины μ.

Таким образом, выше было доказано теорему Ляпунова, а теперь сформулируем ее.

Теорема Ляпунова.

Если постоянная достаточно мала, то все решения системы уравнения (1.8) ─ периодические функции t , причем период ─ четная функция величин и при стремится к . Решения системы (1.8) являются аналитическими функциями величины c ─ начального отклонения переменной x .

Имея в виду формулу

выражение периода можно переписать в следующем виде:

(1.24)