3.2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Для того, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной величины, следует закон ее распределения задать плотностью. Пусть случайная величина Х [a, b) и имеет плотность f(x). Тогда математическое ожидание определится формулой

(3.2.1)

а дисперсия формулой

(3.2.2)

или

(3.2.3)

Пример 4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, закон распределения которой задан функцией распределения

Найдем плотность, т.е. производную функции F*(x) = 0,5(x² - x). Так как множество допустимых значений составляет промежуток [1, 2), то на этом промежутке плотность равна и математическое ожидание и дисперсия в соответствии с формулами (3.2.1) и (3.2.3) равны

3.3. Наиболее важные непрерывные случайные величины

Рассмотрим некоторые НСВ, которые наиболее часто встречаются в практической работе.

3.3.1. Равномерный закон распределения нсв

Определение 1. Случайная величина Х  [a, b) имеет равномерное распределение, если плотность постоянна, т.е.

(3.3.1)

Функция распределения имеет вид

(3.3.2)

Числовые характеристики равномерной случайной величины равны

(3.3.3)

(3.3.4)

Равномерному закону распределения подчиняются ошибки округлений и ошибки измерений с помощью шкал. Например, если приближенное число записано так z = 15,56  0,03 , то z может быть равномерно любым на промежутке [15,53; 15,59], т.е. ошибка равномерно распределена на [-0,03; 0,03].

Пример 5. Измеряется масса тела М на весах , шкала которых градуирована с точностью 5 г. Найти вероятность того, что ошибка измерения лежит в пределах  1 г. Случайная величина М - ошибка измерения распределена равномерно на [- 2,5; 2,5], так как при измерении с помощью шкал эта ошибка составляет  цены деления шкалы прибора. Следовательно, a = -2,5 , b = 2,5 и плотность в соответствии с формулой (3.1) равна Тогда

2. Показательный закон распределенная нсв

3. Определение 2. Случайная величина Т подчиняется показательному закону распределения, если она равна времени между двумя последовательными событиями простейшего потока.

Очевидно, функция распределения величины Т: может быть записана, используя вероятность противоположного события, так . Но событие означает, что за время t не произошло ни одного события простейшего потока. Если плотность потока  , то в соответствии с формулой (2.3.7) можно записать

т.е.

(3.3.5)

Плотность показательного распределения равна

(3.3.6)

Числовые характеристики :

(3.3.7)

(3.3.8)

Пример 6. Время бесперебойной работы прибора имеет показательное распределение со средним значением (математическим ожиданием) 10 час. Найти вероятность того, что прибор проработает без остановки более 15 час.

Так как М(Х) = 10, то в соответствии с формулой (3.3.7) Тогда и