- •Содержание
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Решение слау методом Гаусса.
- •Теоретические сведения.
- •Произведение расчетов вручную.
- •1.1.3. Запись решения в mathcad :
- •1.2. Решение слау средствами матричного исчисления.
- •1.2.1. Теоретические сведения.
- •1.2.2. Произведение расчетов вручную.
- •1.2.3. Запись решения в mathcad.
- •2. Определение суммы, разности и произведения комплексных чисел.
- •2.1 Теоретические сведения.
- •3.2 Запись решения в mathcad.
- •Расчет выражений для комплексных чисел:
- •Произведение расчетов вручную
- •4.2. Запись решения в mathcad :
- •Решение систем уравнений.
- •Теоретические сведения.
1.1.3. Запись решения в mathcad :
Рис 1.1 – решение СЛАУ в Mathcad методом Гаусса.
1.2. Решение слау средствами матричного исчисления.
1.2.1. Теоретические сведения.
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):
Её можно переписать в матричной форме AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
, , .
Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрицеA:
A-1(AX) = A-1∙B
Так как A∙A-1 = E, получаем X = A-1∙B . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы А. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы А:
det A ≠ 0
1.2.2. Произведение расчетов вручную.
Сначала проверим, не равен ли определитель матрицы коэффициентов СЛАУ нулю:
Для нахождения обратной матрицы необходимо вычислить алгебраические дополнения для всех элементов матрицы коэффициентов при переменных:
Далее найдём обратную матрицу:
Чтобы найти неизвестные, перемножим обратную матрицу на матрицу векторов свободных членов:
Итоговое решение системы: x1 = 2; x2 = -1; x3 = 3.
1.2.3. Запись решения в mathcad.
Рис 1.2 - решение СЛАУ в Mathcad матричным методом.
2. Определение суммы, разности и произведения комплексных чисел.
Определить сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z1и z2, z3 и z4. Ответы представить в алгебраической и показательной формах комплексного числа.
2.1 Теоретические сведения.
Комплексным числом называется упорядоченная пара(a, b) действительных чисел. Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2+1 имеет корень.
Действия над комплексными числами:
Сложение :
Вычитание :
Умножение :
Деление :
Алгебраическая форма записи комплексного числа имеет вид , гдеa, b— действительные числа, j— мнимая единица, для которой Числоaназывается действительной частью комплексного числа и обозначаетсяa = Rez, b = Imz — мнимая часть числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ).
Показательная форма записи комплексного числа имеет вид , где —формула Эйлера. — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
, .
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат). Модуль комплексного числа z (записывается |z|) определяется выражением:
Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числаz и обозначаетсяargz.
Из этого определения следует, что
2.2 Представление комплексных чисел в алгебраической форме:
2.3 Представление комплексных чисел в показательной форме:
2.4 Запись решения в MATHCAD.
Рис 2.1 – выполнение действий над комплексными числами в Mathcad.
Изображение векторов на комплексной плоскости.
На комплексной плоскости изобразить векторыZ1, Z2, Z3, Z4.Изобразить векторную сумму Z1и Z2, Z3 и Z4.
3.1. Теоретические сведения.
Пусть на плоскости введена ПДСК, тогда каждую точку плоскости можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел, которые являются ее координатами:
С другой стороны, каждое комплексное число можно также отождествить с упорядоченной парой действительных чисел , где — действительная часть комплексного числа z, — мнимая часть комплексного числа z.
Отсюда выводим, что каждое комплексное число можно отождествить с точкой координатной плоскости.
Координатная плоскость, каждая точка которой отождествлена с комплексным числом, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс Ох называется действительной осью. Ось ординат Оу называется мнимой осью.
Существует взаимно однозначное соответствие между точками координатной плоскости и их радиус-векторами. Поэтому также существуют взаимно однозначное соответствие и между всеми комплексными числами и радиус-векторами соответствующих точек комплексной плоскости.
Итак, чтобы изобразить комплексное число zточкой на комплексной плоскости нужно записать его в алгебраической форме записи, найти его действительную и мнимую части и построить в ПДСК на этой плоскости точку, абсцисса которой равна действительной части, а ордината —мнимой части данного комплексного числа z:
,
где вектор Ozявляется радиус-вектором точки z.
Введем на комплексной плоскости полярную систему координат стандартным образом совмещенную с ПДСК, т.е. с полюсом в начале координат и полярным лучом, совмещенным с положительной полуосью абсцисс. Тогда точка zимеет полярные координаты где r— полярный радиус точки z, а — её полярный угол.
При такой геометрической интерпретации комплексного числа как точки на комплексной плоскости ее полярные координаты, как и декартовые, получили специальные названия и обозначения.
Модулем комплексного числа называется полярный радиус точки комплексной плоскости отождествленной с этим числом.
Аргументом комплексного числа называетсяполярныйугол точки комплексной плоскости отождествленной с этим числом.
Таким образом, полярными координатами точки zкомплексной плоскости являются модуль и аргумент комплексного числа z:
Из определений следует, что
Можно дать такое определение модуля комплексного числа, совпадающее с первым.
Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат комплексной плоскости до точки, отождествленной с этим числом.
Так как действительные числа изображаются здесь точками на координатной оси Ох, то данное выше определение модулякомплексного числа является одновременно и определением модуля действительного числа.
Модулем действительного числа называется расстояние от начала координат до точки числовой оси, отождествленной с этим числом, действительного числа называется расстояние от начала координат до точки числовой оси, отождествленной с этим числом.