1. Число размещений .

Пусть требуется разместить k различных предмета в n ячейках

( ). Число различных способов размещения k предметов в n ячейках

обозначают . Для размещения первого предмета имеем n возможностей, для размещения второго предмета имеем n – 1 возможностей,…, для размещения k–го предмета имеется возможностей. Перемножив количества возможностей размещения всех k предметов, получаем число размещений = .

Пример. В группе туристов из 10 человек, среди которых 3 родственника, случайным образом распределили 10 лотерейных билета, три из которых содержат выигрыши 10, 15 и 20 тысяч рублей. Найти вероятность того, что все выигрышные билеты достанутся родственникам.

Элементарными событиями являются всевозможные размещения трёх выигрышных билетов среди 10 туристов, их общее количество равно = = 720. Элементарными событиями, благоприятствующими событию = {все выигрышные билеты достанутся родственникам} являются всевозможные размещения трёх выигрышных билетов между тремя родственниками, их количество равно . Следовательно, вероятность .

2. Число перестановок .

В частном случае размещение n предметов в n ячейках называют перестановкой и число перестановок из n предметов = = .

Пример. Гостей, среди которых 4 женщины и 6 мужчин, случайным образом разместили за 10 местным круглым столом. Найти вероятность того, что все женщины окажутся рядом.

Общее число элементарных событий равно числу перестановок из 10 гостей = 10!. Подсчитаем количество перестановок, в которых 4 женщины окажутся рядом. Пронумеруем все места за столом числами от 1 до 10. Все женщины окажутся рядом, если будут занимать (1,2.3,4), (2.3,4.5),…, (10,1,2.3) места. В каждом из этих 10 случаев имеем 4! перестановок женщин на четырёх местах, и каждую такую перестановку можно брать с каждой из 6! перестановок мужчин на 6 местах. Следовательно, число элементарных событий, благоприятствующих событию = {все женщины окажутся рядом} равно , а вероятность этого события .

3. Число сочетаний .

Числом сочетаний из n по k называют количество различных наборов по k предметов, которые можно составить из различных предметов и обозначают . Справедливо равенство = . Два набора по k предметов считаются различными, если они отличаются хотя бы одним предметом. Если в каждом из наборов по k предметов выполнить k! перестановок, то получим число размещений , то есть справедливо равенство = k! .

Пример. Из урны, содержащей 3 белых, 4 чёрных и 5 красных шара наугад извлекли 6 шаров. Найти вероятность того, что извлекли 1белый, 2 чёрных и 3 красных шара.

Элементарными событиями являются различные наборы по 6 шаров, которые можно составить из 12 шаров, их количество равно = = = . Элементарными событиями, благоприятствующими событию _{= {}извлекли 1белый, 2 чёрных и 3 красных шара_{}, являются различные наборы по 6 шаров, содержащие} 1белый, 2 чёрных и 3 красных шара. Количество таких наборов равно 3 = . Следовательно, .

Задание 3. Формула полной вероятности и формула Байеса.