4. Расчет на прочность. Допускаемые напряжения.
Элементы рационального проектирования.
Целью расчета конструкции на прочность является определение размеров поперечного сечения бруса или толщины оболочки, обеспечивающие надежность работы конструкции. При расчете по допускаемым напряжениям должно выполняться условие:
σmax≤ [σ], (4)
где [σ] ─ допускаемые напряжения, которые определяются из соотношений:
или
здесь nТ, nвр ─ коэффициенты запаса по отношению к пределу текучести или пределу прочности.
Значения коэффициентов запаса зависят от вида материала, условий работы конструкции, её назначения, точности изготовления и других факторов. При расчете строительных конструкций nвр= 2 – 5.
Рациональное проектирование конструкций
Критериями рациональности той или иной конструкции могут быть: минимальная стоимость, минимальный вес или какой либо другой критерий. При прочностных расчетах обычно в качестве такого критерия выбирают минимальный вес.
Пример 2. Рассмотрим пример рационального проектирования конструкции (рис. 1.6), содержащей жесткую полку 1 длиной L=1м и стержень 2, шарнирно прикрепленный к стене и полке. Материал стержня сталь Ст3, [σ]=150 МПа. Вес полки и внешняя нагрузка приложены в т. D. Суммарная нагрузка Р= 100 кН. Требуется выбрать геометрические параметры конструкции таким образом, чтобы вес стержня ВС был минимальным.
Рис. 1.6
Варьируемым параметром является угол α.
Вес стержня ВС:
G=γAL / cosα, (а)
где γ ─ удельный вес материала; А ─ площадь поперечного сечения.
Из условия равновесия (сумма моментов всех сил относительно т. А равна нулю) определим реакцию RB в т. В, которая направлена вдоль стержня и равна внутренней силе N2.
∑mB: RBL sinα ─ PL/2=0; (б)
Тогда RB=N2= P/ 2sinα
Из условия прочности (4):
A= N2 /[σ]= P/ 2sinα [σ] (в)
Согласно (а), (в):
G=γPL / sin2α [σ] (г)
Оптимальное значение параметра α, при котором вес стержня принимает минимальное значение, найдем, приравняв первую производную G(α) к нулю.
Первая производная G(α) равна нулю при α=π/4.
Вторая производная в этой точке положительна, что соответствует условию минимума G(α) .
При α=π/4 , RB=N2=70,7 кН; минимальная площадь поперечного сечения А=471 мм2. Выбираем круглый пруток. Минимальный диаметр: d=(4A/π)0,5=24,5 мм. По сортаменту выбираем пруток, ближайшего размера: dФ= 25 мм, площадь поперечного сечения АФ= 490 мм2, длина стержня 1,41 м. Объем 693 см3, вес 530 н.
5. Статически определимые и статически
неопределимые системы
Число дополнительных связей, которые не являются необходимыми с точки зрения геометрической неизменяемости определяют степень статической неопределимости системы. Для статически неопределимых систем кроме уравнений равновесия используют дополнительные уравнения перемещений. Определение дополнительных связей называют раскрытием статической неопределимости. Рассмотрим примеры раскрытия статической неопределимости.
Пример 3. Ступенчатый стержень (рис. 1.7), площади поперечного сечения которого на участке ВС 10 и 5 см2 на участке СЕ, нагружен в точке D силой Р = 100 кН. Длина участков стержня задана в долях а=0,2м. Материал ─ сталь Е=2▪105 МПа. Раскрыть с. н. и определить наибольшие напряжения.
Система один раз статически неопределима, так как из уравнения равновесия:
RB+RE=P (a)
нельзя найти опорные реакции в т. В и Е. В дополнение к уравнению (а) составим уравнение перемещений, отражающее условие постоянства длины стержня, закрепленного в т. В и Е.
Рис. 1.7
При решении используем принцип независимости действия сил. На первом этапе рассмотрим систему без одной из опор, например без опоры в т. В. Такая система называется основной (рис. 1.8 а).
а) б)
Рис. 1.8
Перемещение в точке В:
∆В0= Ра /ЕА (б)
Направлено влево за счет растяжения участка DE.
Затем рассмотрим систему нагруженную силой в т. В ─ RB. (рис. 1.7 б). Перемещение в опоре пропорционально значению этой силы:
∆ВR=─ 4RBа /ЕА (в)
Суммарное перемещение в точке В равно нулю:
∆В0+∆ВR=0 (г)
Согласно (б), (в), (г)
RB =Р/4
Вторую реакцию RE найдем из уравнения а):
RE=3Р/4
Суммарные эпюры показаны на рис. 1.8.
Рис. 1.9
Наибольшие напряжения на участке DE: σmax=150 МПа.
Пример 4. Система из трех стержней одного поперечного сечения (рис. 1.10 а) нагружена силой Р. Определить усилия в стержнях.
а) б) в)
Рис. 1.10
1. Вырежем узел А (рис. 1.10 б) и составим уравнения равновесия, приравнивая к нулю проекции сил на оси X, Y:
─N1 sinα+ N3 sinα =0; (а)
N1 cosα+ N2+ N3 cosα ─ P =0
Согласно (а) : N1= N3. Тогда:
2N1 cosα + N2 ─ P =0 (б)
Изменение угла α при действии силы Р считаем незначительным (принцип неизменности начальных размеров).
Система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости запишем уравнение совместности перемещений. Мысленно освободимся от связи стержней в т.А. Удлинения боковых стержней 1 и 3 (рис. 1.10 в) длиной L1=L3=L /cosα при N1= N3
∆1= N1 L /ЕА cosα,
Удлинение среднего стержня
∆2= N2 L /ЕА
Переместим концы стержней 1, 3 по дугам, радиус которых равен длине стержней, таким образом чтобы они сходились в одной точке А1. При этом дуги, длина которых на несколько порядков меньше радиуса, заменим отрезками прямых перпендикулярных к радиусам. Из геометрических соотношений (условий совместности перемещений):
∆1=∆2 cosα, (в)
Тогда
N1= N2 cos2α (г)
И согласно (б), (г):
N2 = P /(1+2 cos3α); N1 = P cos2α /(1+2 cos3α) (д)
Расчет на прочность
При Р=100 кН, [σ]=150 МПа, α=30°, N2= 43,5 кН, N1 =32,6 кН
Из условия прочности (4):
σmax= N2 /А≤ [σ], или А ≥ N2 /[σ] =290 мм2.
Стержни изготовим из прутка диаметром 20 мм. Фактическая площадь поперечного сечения 314 мм2.
СДВИГ И КРУЧЕНИЕ