1. Нормальные и касательные напряжения.
Чистый сдвиг
При растяжении стержня осевой силой Р в поперечных сечениях действует нормальная сила N=P. Если разрезать стержень под углом α к поперечному сечению (рис. 2.1), то равнодействующая внутренних сил:
S=P
Рис. 2.1
Ее нормальная и касательная составляющие:
Nα=P cosα; Qα=P sinα
Т. к. площадь наклонного поперечного сечения Aα=A/cosα,
(здесь А ─ площадь поперечного сечения). Нормальные и касательные напряжения на наклонной площадке (рис. 2.1):
σα= Nα/ Aα =P cos2α/A=σ cos2α;
τα=Qα / Aα= σ sinα cosα,
где σ=Р/A ─ напряжения в поперечном сечении.
Результирующее напряжение s= Р/ Aα =σ cosα.
Напряженное состояние в точке какого либо тела определяют путем выделения малого элемента тремя парами параллельных плоскостей, причем каждая пара перпендикулярна одной из осей координат.
Правило знаков для внутренних сил и напряжений показано на рис. 2.2. Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны между собой и направлены к общей грани или от нее.
Рис. 2.2
Если на гранях выделенного элемента возникают только касательные напряжения (рис. 2.3), то такой вид напряженного состояния называют чистым сдвигом. Закон Гука при сдвиге имеет вид:
τ=Gγ, G=Е /2(1+μ) (2.1)
где G ─ модуль сдвига, γ ─ угол сдвига; μ ─ коэффициент Пуассона.
Рис. 2.3
Рассмотрим как меняются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок.
Таким образом, если из пластины Выделим элемент, грани которого наклонены под углом 45° относительно исходных плоскостей (рис. 2.4). Из условия равновесия призмы АСD на наклонной площадке АС: σX= σY= τ АD/АС;
Аналогично на наклонной площадке ВD:
- σ =τ,
Таким образом, если из пластины выделить элемент, грани которого наклонены под углом 45° относительно исходных плоскостей, то на них возникают равные нормальные напряжения разного знака.
Рис. 2.4
2. Кручение стержня круглого поперечного сечения
При кручении в поперечных сечениях возникает только крутящий момент (рис. 2.5).
При определении напряжений используют гипотезу плоских сечений. При кручении происходит относительный поворот сечений на угол φ. Скорость изменения угла закручивания θ:
(а)
здесь γ ─ угол сдвига на цилиндрической поверхности; z ─координата, которая отсчитывается по оси стержня.
Плоское поперечное сечение бруса поворачивается как одно целое при линейной упругости деформации сдвига γ и касательные напряжения τ в этом случае пропорциональны радиусу ρ (рис. 2.5, 2.6).
Относительный угол закручивания θ связан с углом сдвига γ:
γ dz= dφ ρ; или γ= θρ (б)
Рис. 2.5
Согласно (2.1):
τ=Gγ= Gρθ = τmaxρ/R; или θ= τmax /GR
здесь τmax ─ максимальные касательные напряжения на поверхности стержня при ρ= R.
Сдвигающая сила τ dA на площадке dA создает момент относительно оси стержня τρdA или, учитывая что dA=2π ρdρ:
dМК= τ 2πρ2dρ
После интегрировании при изменении радиуса ρ для сплошного сечения от 0 до R:
МК=∫τ ρ dA= 2π∫ τ ρ2dρ = τmaxJρ/R
τmax= МК/Wρ; здесь Jρ= 2π ∫ρ3dρ = πD4/32; Wρ = Jρ/R = πD3/16
здесь Jρ ─ полярный момент инерции сечения; Wρ─ полярный момент сопротивления.
Распределение напряжений показано на рис. 2.6.
Рис. 2.6
Относительный угол закручивания: θ = МК/GJρ.
Угол закручивания: φ=∫ θ dz
Для i –ого участка, в пределах которого МКi и Jρi постоянны:
φi= φi0+ МКi zi /GJρi
где φi0 ─ угол закручивания в начале участка при zi=0.
τmax= МК/Wρ; φi= φi0+ МКi zi /GJρi |
Jρ = πD4/32; Wρ = πD3/16 |
Здесь GJρ ─ жесткость бруса при кручении.
Для стали модуль упругости второго рода: G=0,8▪105Мпа.
Условие прочности при кручении имеет вид:
τmax'≤ [τ],
здесь [τ] допускаемое напряжение при сдвиге.
Для пластичных металлов [τ]= 0,5 – 0,6 [σ]
На рис. 2.4 показано шарнирное соединение, содержащее проушину А, серьгу В и болт Б. При действии нагрузки Р в сечениях болта nn', mm' действуют сдвигающие силы Q, каждая из которых равна Р/2. Среднее значение касательных напряжений:
τ= Q/А,
где А─ площадь поперечного сечения болта.