41.Сверхпроводимость

Смотреть 36

42.Метод узловых напряжений

В практических задачах встречаются цепи, имеющие всего две узловые точки. Между узловыми точками может быть включено произвольное количество ветвей. Расчет таких цепей значительно упрощается, если пользоваться методом узлового напряжения.

Рассмотрим сущность этого метода. В данной статье решение задач методом узлового напряжения рассмотрены на примерах.

На рисунке 1 изображена разветвленная электрическая цепь с двумя узловыми точками А и Б, между которыми включены четыре параллельные ветви. Три первые ветви имеют источники электродвижущих сил (ЭДС) (генераторы) с ЭДС E₁, E₂ и E₃.

Рисунок 1. Метод узлового напряжения

Последовательно с генераторами в этих ветвях включены сопротивления r₁, r₂и r₃ (к ним могут быть отнесены и внутренние сопротивления самих генераторов). В последней ветви включено сопротивление r₄. Положительные направления токов в каждой ветви выбраны от точки Б к точке А. Поскольку в первых трех ветвях направление тока совпадало с направлением ЭДС источников электрической энергии, то последние работают в режиме генераторов. Если напряжение между узловыми точками А и Б обозначить U, то ток в первой ветви:

то есть

I₁ = (E₁ – U) × g₁ ;

аналогично для остальных ветвей:

I₂ = (E₂ – U) × g₂ ;

I₃ = (E₃ – U) × g₃ ;

I₄ = (0 – U) × g₄ = – U × g₄ .

Применяя для узловой точки А первый закон Кирхгофа, будем иметь:

I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0 .

Заменив токи их выражениями, последнее уравнение записываем так:

(E₁ – U) × g₁ + (E₂ – U) × g₂ + (E₃ – U) × g₃ – U × g₄ = 0 ,

откуда

Мы получили формулу узлового напряжения.

В числителе формулы узлового напряжения представлена алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей на проводимости этих ветвей. В знаменателе формулы дана сумма проводимостей всех ветвей. Если ЭДС какой-либо ветви имеет направление, обратное тому, которое указано на рисунке 1, то она входит в формулу для узлового напряжения со знаком минус. В общем виде формулу для узлового напряжения можно записать так:

Применяя формулу для узлового напряжения, решим следующий пример.

43.Магнитное поле цилиндрической катушки

Если витки катушки навиты вплотную друг к другу, то при бесконечной ее протяженности все точки на любой линии, параллельной оси, находятся в одинаковых условиях (рис. 14.2).

Магнитная индукция поля внутри катушки во всех точках этой линии одинакова и направлена вдоль оси катушки. Вне катушки магнитного поля нет.

Выделим замкнутый контур а-б-в-г прямоугольной формы и применим к нему формулу (14.1). При обходе контура нужно учитывать, что на участке б-в поля нет (В = 0); на участках а-б и в-г вне катушки поля нет, а внутри катушки магнитная индукция направлена перпендикулярно направлению обхода, поэтому проекция вектора В на направление обхода равна нулю. На участке г-а В1 = В.

Таким образом, циркуляция вектора магнитной индукции имеет величину

Полный ток контура а-б-в-г

где N -- число витков, уложенных на участке длиной l. Согласно выражению (14.2),

(14.4)

Из этой формулы следует, что магнитное поле внутри бесконечно длинной катушки равномерно.

Формулу (14.4) можно применить, допуская некоторую погрешность, для определения магнитной индукции цилиндрической катушки конечной длины lк, если она значительно больше диаметра витка (lк»D):

Применение закона Био -- Савара к цилиндрической катушке конечной длины дает для определения В в любой точке М на оси катушки выражение

(14.6)

Формулы (14.3) -- (14.6), определяющие магнитное поле катушек, имеют в числителе произведение тока и числа витков IN. Магнитное поле данной интенсивности можно получить при относительно малом числе витков, но большом токе, или при малом токе, но относительно большом числе витков.