3.1.3. Замена переменных в уравнении

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

• Замена y = xⁿ (степенная замена)

В частности, с помощью замены y = x² так называемое биквадратное уравнение ax⁴ + bx² + c = 0, a ≠ 0 приводится к квадратному.

• Замена или (замена многочлена)

Чаще всего встречается замена или

• Замена (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, и − многочлены степеней n и m соответственно.

В частности, с помощью широко распространённой замены решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, a ≠ 0.

Покажем, как это делается. Так как a ≠ 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x² ≠ 0, получим

А так как то после замены уравнение сводится к квадратному

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

 

Пример 1

Решите уравнение (x² + x + 1)(x² + x + 2) = 12.

Решение

Сделаем замену переменных В терминах новой неизвестной уравнение имеет вид Корни этого квадратного уравнения t = –4 и t = 3. Имеем два случая.

1) Значит, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения x = 1 и x = –2.

Ответ. x = 1 и x = –2.

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Непосредственной проверкой убеждаемся, что x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим числитель и знаменатель каждой из дробей на x. Имеем

Теперь очевидна замена переменной: В терминах новой переменной имеем уравнение

Корни этого уравнения y = 9 и y = 16. Имеем два случая:

1) Следовательно, это уравнение корней не имеет.

2) Корни этого уравнения и

Ответ.  и

3.1.4. Линейные уравнения

Уравнение вида ax + b = 0, где x − переменная, a и  b − некоторые действительные числа, называется уравнением степени не выше первой.

Если a = b = 0, то решением уравнения ax + b = 0 является любое число.

Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение корней не имеет.

Если a ≠ 0, то уравнение ax + b = 0 называется линейным и имеет ровно одно решение

Пример 1

Решите уравнение x = 1.

Решение

Корнем этого уравнения является число 1, поскольку при подстановке вместо x этого числа получается верное числовое равенство.

Ответ. 1.

Пример 2

Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 0.

Решение

Имеем:

Это уравнение не имеет решений, поскольку ни при каких значениях переменной (которая, очевидно, явно не входит в уравнение) равенство 1 = 0 не имеет место.

Ответ. Нет решений.

Пример 3

Решите уравнение 0 ∙ x + 1 = 1.

Решение

Имеем

Решением этого уравнения является любое действительное число. В самом деле, при любом значении переменной равенство 1 = 1 является верным.

Ответ. x − любое число.