3.1.5. Квадратные уравнения

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x − переменная, a, b и c − некоторые действительные числа, называется уравнением сте пени не выше второй.

Если a = 0, то уравнение примет вид bx + c = 0 и будет уравнением степени не выше первой, которое рассмотрено выше.

Если a ≠ 0, то уравнение рассматриваемого вида называется квадратным уравнением (или уравнением второй степени).

Обозначим f (x) = ax² + bx + c и зададимся целью решить уравнение

f (x) = ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

D = b² – 4ac,

Следующим существенным шагом является извлечение арифметического квадратного корня из обеих частей полученного уравнения, но поскольку дискриминант может иметь разные знаки, то возникает три случая:

• Если D < 0, то действительных корней нет.

• Если D = 0, то корни совпадают и равны

• Если D > 0, то, извлекая корень, получим

Это и есть формула для решения квадратного уравнения.

 

Пример 1

Решите уравнение x² + 2x – 3 = 0.

Решение

Вычислим дискриминант этого уравнения: Следовательно, по формуле корней квадратного уравнения можно сразу получить, что Значит,

Ответ. 1, −3.

Пример 2

Решите уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение

Вычисляя дискриминант этого уравнения, получим, что D = 0 и, следовательно, это уравнение имеет один корень Однако можно поступить проще, заметив, что в левой части данного уравнения стоит полный квадрат: Отсюда равенство x = –3 получается сразу.

Ответ. x = –3.

Пример 3

Решите уравнение x² + 2x + 17 = 0.

Решение

Вычислим дискриминант этого уравнения: D = 2² – 4 · 17 = –64 < 0. Следовательно, данное уравнение действительных корней не имеет.

Ответ. Решений нет.

3.1.6. Алгебраические уравнения

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение

(*)

имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z₀. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z₀), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1

Решите уравнение z³ + z – 2 = 0.

Решение

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z³ + z – 2 на одночлен (z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители:

Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения:

Ответ. 1,

 

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Функция f (x) называется рациональной (дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов:   (степени n  и  m многочленов могут быть произвольными).

Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g (x) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть (x – 1)(x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим 3x(x + 2) – 2x(x – 1) = 3x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению x² + 5x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2 он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит, x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

равнения, в которых переменная входит под знаком радикала, называются иррациональными уравнениями.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение

(6)

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение

(7)

Ясно, что если x = x₀ − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x₀ должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности:

(8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Перейдём сразу к равносильной системе.

Ответ.