3.1.10. Тригонометрические уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

Значит, либо то есть   либо то есть   Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, 

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn,  либо x + arcsin a = 2(n + 1)π,  Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn, 

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn, 

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Решение

Воспользуемся формулой приведения получаем

По формуле разности синусов имеем

Следовательно, либо то есть либо то есть

Ответ. 

Пример 2

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Решение

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn,

Ответ. x = arctg 2 + πn,

Пример 3

Решите уравнение sin² x – 6 sin x cos x + 5 cos² x = 0.

Решение

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos² x, получим

tg²x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x:

t² – 6t + 5 = 0.

Корни этого уравнения: и Уравнение имеет решения Уравнение tg x = 5 имеет решения

Ответ. 

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au² + bvu + cv² = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной Уравнения 2-го порядка делением на сводятся к квадратному относительно

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Пример 4

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Решение

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем Так как область определения данного уравнения − множество то:

Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение:

Так как x > 0, то

Ответ.