3.1.9. Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения

Уравнения вида a^f (x) = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0

По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5,  π, и т. п.).

Уравнения вида 

Такие уравнения решаются в два этапа:

a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук).

b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы.

Пример 1

Решите уравнение

Решение

Так как то, делая замену получаем квадратное уравнение корни которого и Второй корень, очевидно, посторонний, так как нарушается условие t > 0. Получаем уравнение 1-го типа:

Ответ. 

Уравнения вида a^f (x) = a^g (x), a > 0, a ≠ 1

В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x).

Пример 2

Решите уравнение

Решение

Так как и то уравнение можно записать в виде Следовательно, исходное уравнение равносильно иррациональному уравнению Имеем:

Отсюда следует, что то есть x = 25; во втором случае − решений нет.

Ответ. 25.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Сразу заметим, что уравнение имеет вид что равносильно уравнению

Ответ. 1, –1.

Уравнения вида  a^f (x) = b^g (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1

При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:

А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения.

Пример 4

Решите уравнение

Решение

Уравнение легко преобразовать к виду Оно содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по основанию 2. Имеем:

Корни этого уравнения и Заметим, что обе части исходного уравнения строго положительны, и поэтому логарифмирование не могло привести ни к потере корней, ни к появлению новых.

Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения a^f (x) = b^g (x) к уравнению f (x) = g (x) log_a b или, в общем случае, переход от уравнения

F (x) = G (x)

(1)

к уравнению

loga F (x) = logb G (x)  (a > 0, a ≠ 0)

(2)

называется логарифмированием.

Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа.

Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x³, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x³ (область определения сузилась). Действительно,

Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа a^f (x) = b^g (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.

Логарифмические уравнения

Уравнения вида log_a f (x) = b, a > 0, a ≠ 1

Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = a^b. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку a^b – это число.

Уравнения вида 

Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.

• С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (x) = 0, у которого ищутся все его корни (пусть таких корней ровно n штук).

• Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше:

Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой.

Пример 5

Решите уравнение

Решение

Преобразуем левую часть уравнения, приводя все логарифмы к основанию 7.

а) Корень последнего уравнения с учётом ограничения x > 1 есть x = 3.

б)

Поскольку мы использовали, вообще говоря, неравносильное преобразование суммы логарифмов в логарифм произведения (это расширяет область определения), то необходима проверка, которая показывает, что все три найденных числа являются корнями исходного уравнения. Заметим, что число x = 1 рассматривать не нужно, поскольку оно не входит в ОДЗ уравнения.

Ответ. 0, 3, −7.

Пример 6

Решите уравнение

Решение

ОДЗ данного уравнения: Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.

1) 3x – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) (x + 1 > 0 в ОДЗ),

x = 0 − не входит в ОДЗ.

x = 3 − входит в ОДЗ.

Ответ. 3,

Уравнения вида log_a f (x) = log_a g (x), a > 0, a ≠ 1

ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем:

Полная система равносильности выглядит так:

Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой.

Рассмотренный переход от уравнения log_a f (x) = log_a g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием.

Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0.

Пример 7

Решите уравнение

Решение

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: или Потенцируя по основанию 10, имеем откуда x = –8, x = –10. Подстановка этих чисел в исходное уравнение даёт, что только x = –10 является корнем.

Ответ. x = –10.

Пример 8

Решите уравнение

Решение

Очевидна замена 6 sin x + 4 = t > 0 (это требование взято из ОДЗ, ведь от t берётся логарифм). Перейдём к равносильному уравнению:

Ответ.