- •10 Инт. Вида ,
- •11 Инт. Вида
- •1 Кч в алгебраической форме
- •2 Тригонометрическая форма кч
- •3 Извлечение корня из кч
- •4 Основная теорема алгебры и ее следствия
- •2 Свойства инт.
- •6 Инт. По частям
- •7 Инт. Рациональных функций.
- •8 Инт. Иррациональных функций
- •8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
- •9 Инт. Тригон. Выражений
- •2. Dу1, решения которых сводится к интегралам
- •3. Сущ. И ед. Решения dу1.
- •2 Сущ. И ед. Решения.
- •2 Сущ. И ед. Решения нсdу
- •3 Метод исключения
2 Свойства инт.
1) ,
2) ,
3) ,
4) Лин. подстановка:
3 Таблица основных инт. Непосредственное инт.
4 Т. о подстановке. Если , то
5 Замена переменной. Пусть , полагаем и находим инт , по т. о подстановке , а ,где обратная к : .
6 Инт. По частям
Пр.: рекуррентная формула для
7 Инт. Рациональных функций.
Рациональной фун. или дробью наз. отношение двух полиномов, , где .
Дробь R наз. правильной если , и она наз. неправильной если .
Простейшими наз.правильные дроби вида
.
Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.
Правило составления суммы: знаменатель разлагаем на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;
Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде
суммы , где целая часть(полином), а правильная дробь.
, где простейшие дроби.
Инт. от дроби находим по формуле
8 Инт. Иррациональных функций
8.1 Инт. дробно-линейных иррац.
8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
1) p - целое, 2) (m+1)/n - целое, 3) (m+1)/n+p - целое.
, , =
9 Инт. Тригон. Выражений
9.1 , ;
9.2 , , ;
9.3 , ;
9.4
пр. ,
Определенные интегралы
1. Основные понятия и опред. Пусть опред. и ограничена на отрезке ,
- разбиение , ,
- ранг разбиения,
- инт. сумма ,
- предел инт. сумм,
определенным инт. от по наз. число
, если предел , а наз. инт. по Риману. Пр.
Справедлива следующая
Теорема. Если опред. и ограничена на отрезке , и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на .
2. Свойства
1) Линейность
2) Аддитивность
3) Монотонность (1) ; (2) ; (3)
3. Т. о ср.знач. Пусть непр. на : ,
наз. ср. знач. на .
4. Формула Ньютона/Лейбница. Если инт. на , и дифф. функция F на : , тогда .
5. Т. о дифф. по верхнему пределу. Если непр. на , а , тогда
6. Замена переменной
Пусть непр. на , непр. дифф. и на ,
,
если на ,
использовать формулу Н/Л
7. Инт. по частям опред. интегралов.
Несобственные инт.
1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.
Пр.
2 Признаки сх. и рсх.
2.1 Принцип Коши: сх
Пр. сх:
2.2 Пусть первообразная , сх существует
Пр.
2.3 Признак сравнения: если и сх., то сх.
по принципу Коши :
2.4 Предельный признак сравнения: если и , то инт. и оба сх. или оба рсх.
2.5 Если сх., то сх. инт. ; инт. наз. абс сх.,
обратное не верно!
3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.
4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.
Приложения инт.
1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на , тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.
Т. Крив. трапеция измерима, и ее пл.
Пусть f непр. , ≥ 0 на и E соответствующий крив. сектор, тогда его пл.
пр. 1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды , , , пл. фигуры ограниченной кардиоидой.
2 Объем тел вращения, поперечные сечения
пр. объем 1) тора, 2) вокруг OX и OY, 3) эллипсоида
3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина
пр. центр масс полукруга
4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)
, ,
5 Пл. поверхности вращения гл. кривой
6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина
стат. моменты: , ;
центр масс: , ;
формулы Гульдина: , .
Пр. ЦМ полуокружности.
DУ.
1. Основные понятия и опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.
Т.о. DУ1 имеет вид , его записывают в виде , где непр. в области , DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где непр. в области .
Фун. наз. реш. DУ в , если
1) непр., 2) , 3) .
График реш. наз. инт. кривой(ИК), само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.
Пр.
Реш. DУ , график которого проходит через
: , наз. реш. ЗК с началом . ЗК записывают в виде . Семейство реш. наз. ОР в если , т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω.
Пр. дает ОР DУ в области y>0, т.к. семейство этих парабол заполняют всю верхнюю полуплоскость и любые две не пересекаются.
Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой.
Пример: особое решение DУ .