2. Dу1, решения которых сводится к интегралам

1) DУ с разделяющими переменными (РП), это уравн. вида , пр. .

2) ОDУ1, .

3) Уравн., приводимые к однородным .

Рассмотрим уравнение ; перейдем к новым переменным , , ,

,

пусть  определитель,

если , то существуют и уравн. сводится к однородному , находим его ОР и ОР исходного ,

если , то т.е. , и уравн. можно свести к уравн. с РП.

4) ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. .

5) DУ Бернулли: , , метод Бернулли.

6) Уравн. в полных дифф.

Пусть , уравн. наз. в ПD в если левая часть является полным дифференциалом некоторой фун. двух переменных, т.е. , тогда ОР имеет вид .

Пусть односвязная область в R² , а непр. дифф. в , тогда

будет полным дифференциалом т. и т.т. когда выполнено условие Эйлера: в .

В частности, если прямоугольник с центром в т. , то фун. можно найти по любой из формул или .

7) Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.

Рассмотрим уравн. , которое не является в ПД, фун.

наз. интегрирующим множителем для такого уравнения, если будет в ПД. Найдем условия когда существует множитель зависящий от x или от y.

:   если дробь справа зависит от x, то такой множитель существует;

:   если дробь справа зависит от y , то можно найти;

3. Сущ. И ед. Решения dу1.

Рассмотрим (без док) 2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ в .

Т1. Пусть

1) непр. в и

2) ограничена в ,

сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .

Пример: ЛDУ1 , p и q непр. на .

Т2. Пусть

1) −прямоугольник : ,

2) f непр. в и значит ограничена: ,

сущ. ИК , проходящая через и опред. в промежутке ,

, если кроме того

3) ограничена в , то

ИК ед. Пр. 1) ; 2)

DУ2

1. Определения. DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где f непр. в обл. .

Реш. уравн. наз. фун. : , разумеется .

ЗК заключается в отыскании решения , где , при этом должно быть опред. в некоторой окрест. т. x₀ . ЗК записывают в виде . Два последних равенства наз. условиями Коши, т. наз. начальной.

Пусть через проходит ровно одна ИК . ОР наз. семейство решений , зависящее от двух параметров , для которого система разрешима относ. . Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω

2 Сущ. И ед. Решения.

Т. Пусть 1) f непр. в ,

2) огранич. в

 ЗК имеет ед. реш. в .

Пр.1) , 2) , p, q непр. на .

3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.

1) , имеем , , все!

2) , пусть , тогда , это DУ1, решим его

, теперь , , все! Пр.

3) , пусть , тогда ,это DУ1, решим его , теперь , это DУ1 с РП, его решение:

плюс , где , все!

Пр. 1. ; 2. ; 3. .

ЗК: 4189 ;

4190 ;

4196 ;

ЛDУ

Основные понятия и определения. Пусть , ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида , где функции непр. на . Уравнение опред. в полосе, которая занимает вдоль x , а могут принимать любые значения.

Левую часть обозначим через , так что ЛDУ удобно записывать в виде . Уравн. наз. однородным если и неоднородным если .

Пр. 1) −ЛНDУ1, можно решить по формуле ОР,

2) −ЛОDУ2, можно понизить порядок,

3) −это знаменитое уравнение Эри, решение которого можно представить с помощью степенного ряда.

Вид ЛDУ обеспечивает однозначную разрешимость ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2 это означает, что для любого набора

сущ. ед. решение .

Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.

во всем интервале .

Введем понятие лин. завис. и незав. фун. Конечный набор функций наз. лин. завис., если сущ. числа , не все =0, такие, что , если сумма =0 лишь когда все , то набор наз. лин. незав.

Теорема 1. Набор функций лин. зависим  одна из функций равна лин. комбинация других: , при некотором j.

Пр. 1) − лин. незав.

2) − лин. завис.

3) − лин. незав.

− определитель Вронского набора функций.

Теорема 2. Набор лин. зависим 

 один из столбцов W = лин. комбинации других,

Структура общего решения ЛОDУ , .

1. Определение. ФСР ЛОDУ n−го порядка наз. лин. незав. набор из n его решений. Пример − ФСР уравнения .

2. Для каждого ЛОDУ n−го порядка ФСР существует

Зам. Пусть решения уравнения ,

набор лин. независимый и значит образует ФСР  .

3. ОР ЛОДУ n−го порядка имеет вид , где −ФСР.

Пример − ОР уравнения .

ЛОDУ2 с постоянными коэфф. Рассмотрим уравн. , где p, q − действ. числа. Будем искать решение в виде , подстановка дает кв. уравн. , оно наз. характеристическим. Пусть дискриминант ,

1) −два действительных различных корня, образуют ФСР (показать что )

ОР ;

2) −действ. корень крат. 2 , , покажем, что тоже решение:

при , образуют ФСР (доказать)

ОР ;

3) −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения ;

действ. решения получаются отделением действительной и мнимой частей , , образуют ФСР (доказать)

ОР .

Структура ОР ЛНDУ .

Теорема. ОР ЛНDУ имеет вид , где z –частное решение ЛНDУ, а − ОР ЛОDУ .

Отыскание частного решения ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида (метод подбора) , ;

1) , где r крат. как корня характ. уравн.,

пр. .

2) , где r крат. как корня характ. уравн. пр. .

3) ,

полиномы степени .

4) Суперпозиция решений.

, частные решения , ~

Метод Лагранжа (метод вариации)

Рассмотрим ЛНDУ2 .

ОР ЛОDУ2 , где − ФСР.

Ищем решение НУ в виде ,

где подлежат определению,

дифференцируем ,

полагаем , тогда ,

дифференцируем еще раз ,

потребуем чтобы :

получили лин. систему

ее опред. W≠0, находим производные ,

и после интегрирования, функции , а значит и z, все!

пр. .

СDУ

1. Основные понятия и опред. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида

...

где непр. в области .

Каждое уравнение НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле каждое уравнение вида можно переделать в НСDУ. Пр. : .

Решением СDУ наз. набор фун. , опред. на интервале

:

Удобно записывать НСDУ в векторной форме: , где

, , , решение СDУ будет векторная функция

ЗК для СDУ записывается в виде , , т. наз. начальной. ОР наз. семейство решений , зависящее от n констант, за счет выбора которых можно решить ЗК с началом в любой т. из .