1.Основні положення мулевої алгебри. Логічні змінні і функції.

Для виконання перетворень функцій в алгебрі логіки використовується ряд законів та тотожностей, основні з яких наведені нижче: Закон перестановки (комутативний):Закон сполучення (асоціативний):Закон розподілу (дистрибутивний):Закон повторення:Закон інверсії:Закон заперечення:Закон подвійного заперечення:Закон поглинання:Закон склеювання:

Функціонально повна система логічних елементів - це такий набір елементів, за допомогою якого можна реалізувати будь-яку функцію, незалежно від її складності. Оскільки логічна функція є комбінацією простих функцій - диз'юнкції, кон'юнкції та інверсії, то набір з елементів АБО, І, НЕ є функціонально повним. Аналогічно можна сказати і про елементи, що реалізують функції І-НЕ та АБО-НЕ.

Існує 4 можливих комбінацій двох аргументів, і, відповідно, 16 різних булевих функцій з двома аргументами.

* кон'юнкція (зв'язка І, логічне множення); приймає значення 1 тоді і тільки тоді, коли обидва аргументи приймають значення 1. Кон'юнкція змінних x та y позначається як x ۸ y; знак ۸, як правило, опускається.

* диз'юнкція (зв'язка АБО, логічне додавання); приймає значення 1 тоді і тільки тоді, коли хоча б один з аргументів приймає значення 1. Диз'юнкція змінних x та y позначається як x ۷ y.

* тотожність або еквівалентність; позначається як x ≡ y

* заперечення тотожності, або додавання за модулем 2, або зв'язка XOR. x y x XOR y

* імплікація, позначається як x → y. x y x → y

Булеву функцію можна задати двома основними способами: 1. через булеві вирази; булевий вираз визначає явну формулу, за якою можна обчислити функцію при даних значеннях змінних;

2. за допомогою таблиці істинності; таблиця істинності - це таблиця, яка ставить у відповідність кожній комбінації аргументів певне значення.

Якщо булева функція має n аргументів, то існує 2n їх комбінацій, і , відповідно, 2 в степені 2n функцій. Для одного аргументу існують 4 булеві функції, практичне значення має одна з них - заперечення, або зв'язка НЕ. Заперечення x позначається як ¬x ,

Змінні в булевій алгебрі логіки, так само, як і електричні сигнали цифрових ІМС, можуть приймати тільки два значення: 0 і 1. Над змінними можуть проводитись три основні логічні дії: додавання, множення та заперечення, що відповідає логічним функціям АБО, І та НЕ відповідно. і читається так: логічна функція Y приймає значення логічної одиниці, якщо логічні змінні або X1 або X2 рівні 1 (можна читати Y рівне X1 або X2). Цей умовний запис читається так: Y=1 тоді, і тільки тоді, коли обидві вхідні логічні змінні X1 та X2 рівні 1; при будь-яких інших співвідношеннях змінних X1 та X2 Y=0 (можна читати Y рівне X1 і X2) і читається так: Y рівне не X (або Y є інверсія X).

2.Логічні елементи: види, функціонування, реалізація.

Елементами в комп'ютерній схемотехніці називаються найменші неподільні мікроелектронні схеми (вироби), призначені для виконання логічних операцій або зберігання біта інформації. До елементів умовно відносяться і допоміжні схеми – підсилювачі, повторювачі, формувачі та ін.

Елементи будуються на основі двопозиційних ключів, що технічно реалізується найпростіше. Елементи з двома станами називаються двійковими. На входах і виходах двійкового елемента діють напруги, які набувають у сталому режимі двох значень – високого UH і низького UL рівнів (індекси від англійських слів High і Low). Ці напруги відображають електричні сигнали. Сигнал з двома станами називається двійковим. Перехід елемента з одного стану в інший називається його перемиканням. На основі елементів будують типові функціональні вузли.

За типом фізичних приладів розрізняють такі елементи: побудовані на електронних лампах – перше покоління; на транзисторах – друге покоління; на ІМС малого і середнього ступеня інтеграції – третє покоління; на великих і надвеликих ІМС – четверте покоління. За видом інформаційних сигналів виділяють: потенціальні елементи – використовуються тільки потен­ціальні сигнали; імпульсні елементи – використовуються тільки імпульсні сигнали; потенціально-імпульсні елементи – використовуються потенціальні й імпульсні сигнали. За функціональним призначенням елементи комп’ютерної схемотехніки поділяють на такі класи: логічні елементи, призначені для виконання логічних операцій – НЕ, І, ЧИ,  НЕ І, НЕ ЧИ, НЕ І ЧИ та ін.; елементи, які запам'ятовують – тригери, призначені для зберігання значення однієї двійкової змінної – нуля або одиниці, тобто одного біта інформації; допоміжні елементи (підсилювачі, формувачі, перетворювачі сиг­налів, схеми часового узгодження, генератори імпульсів та ін.), призначені для забезпечення роботи елементів перших двох класів.

Основні параметри логічних елементів визначають за допомогою вхідної, вихідної і передатної характеристик. Кожна елементарна логічна функція реалізується відповідно логічним елементом: ЧИ (диз’юнктор), І (кон’юнктор), НЕ (інвертор). Для реалізації складних функцій логічні елементи об'єднуються у логічну схему. Функціонально повна система логічних елементів дозволяє побудувати будь-яку складну логічну схему. Такі системи утворюються такими наборами логічних елементів: 1) ЧИ, НЕ; 2) І, НЕ; 3) НЕ ЧИ; 4) НЕ І та іншими. У технічно повній системі елементів забезпечується значення електричних параметрів двійкових сигналів, для цього використовуються допоміжні елементи – підсилювачі, повторювачі, формувачі та ін.

Логічні функції реалізуються відповідними логічними елементами з аналогічними назвами. Елементною базою логічних пристроїв є напівпровідникові діоди чи біполярні транзистори, які утворюють схеми транзисторно-транзистоної логіки (ТТЛ). Логічний елемент НЕ виконано з використанням транзисторного ключа. Величина напруги живлення + U має значення, що відповідає логічній одиниці. Якщо сигнал на вході транзистора Uвх за величиною дорівнює логічній одиниці, то транзистор відкритий і вихідна напруга дорівнює Uке.нас, яка за величиною відповідає логічному нулю. І, навпаки, якщо на вході транзистора сигнал дорівнює логічному нулю, то транзистор закритий і вихідна напруга Uвих = +U ,що відповідає логічній одиниці. Логічний елемент І теж реалізовано схемою з використанням напівпровідникових діодів (рис. в), в якій накладена умова, що R₁>>R₂. Напруга на виході елемента R₁ матиме значення U_вих = +U тільки тоді, коли всі діоди будуть закриті, тобто на всі входи буде подано сигнал, що відповідає логічній одиниці.