Статистические виды погрешностей.
Три вида погрешности:
- вероятностная (равновероятная)
- средняя арифметическая
- среднеквадратичная
Вероятностная
– погрешность, для которой выполняется
условие: половина всех погрешностей,
меньше ее, по абсолютной величине, а
половина больше. Обозначается
Средняя
арифметическая погрешность
– средняя арифметическая погрешность,
полученная из всех погрешностей.
.
Для
нормального распределения можем написать
некоторый доверительный интервал
и
соответствующую ему доверительную
вероятность
.
В
доверительный интервал попадает всего
всех
допущенных погрешностей. 32% в него не
попадают.
.
Это
не полная таблица всех погрешностей.
Треть погрешностей лежит вне этого
коридора. Иногда его расширяют. Если
расширим интервал до
,
то
тогда в него попадет очень много
.
За измерение вылетать не должно.
Преимущества:
-
с помощью
легко
отделить промахи
- чувствительна к наличию больших отклонений
- средне квадратичная погрешность надежно определяется для коротких рядов
Если распределение близко к нормальному, то для СКО легко перейти к определению погрешности для коротких рядов.
–
распределение
близко к нормальному.
Оценка точности результата
Погрешность ряда измерений и погрешность одного измерения – синонимы. В отличие от погрешности результата.
Результат – среднее арифметическое из некоего ряда.
тоже
будет обладать погрешностью Погрешность
будет подчиняться всем статистическим
законам.
Пусть
провели
измерений
параметра
и
получили
значений
,
тогда
Постоянный член можно выносить за знак дисперсии.
=
Так
как все измерения равноточны
=
Если
представить с j,
то
для погрешности результата
Если выражаем все через остаточную погрешность, то
Если характеризуем каждое измерение, то погрешность отдельного измерения или погрешность ряда. Если провели n измерений, усреднили, и посчитали погрешность, то это погрешность результата. Чем больше n, тем более сильно погрешность результата отличается от погрешности отдельного измерения или погрешности ряда.
Цель экспериментатора – уменьшить погрешности результата.
Для этого:
-покупать
дорогие приборы, строить новую установку.
В целом это все уменьшение
.
- увеличивать число измерений. Никакое увеличение количества измерений не приведет к уменьшению систематической погрешности.
Некоторые указания при вычислениях.
1) Точность результата измерений должна определяться точностью исходных экспериментальных данных, а она точностью СИ.
2) Погрешность результата выражается, как правило, одним значащим числом. В особо точных измерениях три, но не больше.
3) Количество знаков в результате последнего и в погрешности должны совпадать.
4) Ошибки, получающиеся в результате промежуточных измерений, должна быть на порядок меньше ошибки исходных данных.
????
???? Лекция пропущена
,
,
(2)
В этом случае
(3)
(4),
–
ошибки,
которые зависят от вида модели.
Распишем
Наша задача найти оптимальные параметры, чтобы функция, зависящая от них давала оптимальную аппроксимацию (когда сумма квадратов от ошибок будет минимальная).
(6)
(7)
Нужно найти экстремум этой функции. Нужно продифференцировать по каждому значению и приравнять каждое из полученных значений к нулю.
Получаем:
(8)
Раскрываем скобки:
(9)
Это
система линейных уравнений относительно
параметров
.
Значит
ее можно решать.
Перепишем:
(10)
Будем решать:
,
,
(11)
(12)
Введем также конструкционную (структурную) матрицу. Имеет n строк и r столбцов, r<<n.
(13)
(14)
(15)
Запишем уравнения (5,6,7) в матричной форме:
(16)
(17)
(18)
(19)
Дальше
будем дифференцировать
раз
по каждому из
.
Получим
систему уравнений, которую тоже можно
записать в виде суммы двух матриц
столбцов.
(т.к.
нужен экстремум) (20)
Умножим
на
(21)
(22)
–
это
и есть то, что поучилось в конечном
итоге. Определенные значение
дадут
минимальные отклонения экспериментальных
данных от аппроксимирующего полинома
(1) с заданными функциями
.
Задача
решена. Однако, само значения функции
существенно зависит от этих функций. И
часто оказывается что
нас
не устраивает. Т.е. величина, которую мы
нашли как среднеквадратичное отклонение
оказывается больше, чем нам хотелось
бы. Получили решение в матричном виде.
Y
знаем.
Конструкционная матрица А – функция
от аргументов. Все можно загнать в
матрицу и решить уравнение.
(23)
оказывается большим, чем погрешность
измерений. Тогда придется изменять вид
функции
.
Если надо аппроксимировать различные по величине значения, тогда применяют логарифмирование
(1)
Ну а дальше может быть любой из рядов
Например, мы однозначно знаем что модель только положительна.
Если х разные, то может быть такая модель:
(2)