Выч–е инт–в Мора способом Верещагина.

В практических инженерных расчетах интеграл мора определяют способом Верещагина. Рассмотрим 2 эпюры изгибающих моментов: (рис.)

ω – площадь эпюры;

dω – элементарная площадь

Примечания: 1) ω•y_c ,берём со знаком “+” в том случае, если перемноженные эпюры расположены по одну сторону от оси, если по разные, то “–“.

2) Площадь, как правило, берём с грузовой эпюры, но если обе эпюры прямолинейны, то площадь можно брать с любой эпюр, следовательно ординату с другой.

3) Если площадь эпюры представляет из себя сложную фигуру, то она разбивается на более простые.

Статически неопред–е системы при изгибе.

Статически неопределимыми наз-ся такие системы, которые невозможно решить только с помощью одних уравнений статики. Степень статической неопределимости в простых балках и рамах определяется по формуле n=m-3, где

m – число реактивных усилий

3 – количество уравнений статики для плоской системы.

Для решения статически неопределимой системы при изгибе используют метод сил, который заключается в следующем: отбрасываются так называемые «лишние связи», а их действие заменяется основными неизвестными x₁, x₂, …, x_n. Полученная система называется основной системой метода сил, она и рассматривается в дальнейших расчётах.

«лишними» называются связи, отбрасывание которых (удаление) способствует преобразованию статически неопределимой системы в статически определимую. При выборе основной системы удаляются «лишние» связи, причём это могут быть опорные стержни или же в конструкцию врезаются шарниры, а также делаются разрезы по шарнирам или жёстким стержням. Установка или вырезание шарнира соответствует удалению одной связи

Разрез по простому шарниру соответствует удалению двух связей.

Разрез по стержню соответствует удалению трёх связей

Связи делятся на: 1) абсолютно необходимые

2) Условно необходимые

Абсолютно необходимыми являются связи, удаление которых сразу же превращает конструкцию в геометрически изменяемую, или мгновенно изменяемую

абсолютно необходимой является горизонтальная связь.

Для определения основных неизвестных x₁, x₂, …, x_n, используют канонические уравнения.

Канонические уравнения метода сил.

исп. для определения основных неизвестных x₁, x₂, …, x_n

Рассмотрим балку, на которую действует внешняя нагрузка в виде силы F.

n=4-3=1

Δ_B=0

– эквивалентная основная система

Δ_B= Δx₁ +Δx₂ – суммарное перемещение в точке приложения

неизвестного x₁ по направлению этой силы от

действия всех сил

Δx₁=δ₁₁x₁

– каноническое уравнение для системы 1 раз статически неопределимой.

Если конструкция имеет n-е число степеней свободы (n-e количество раз статически неопределимая), то каноническое уравнение имеет вид:

каноническое уравнение обеспечивает математическую аналогию в работе основной и заданной систем.

– главный единичный коэффициент

– перемещение точки приложения i-го неизвестного по направлению этого же неизвестного от единичного значения самого неизвестного.

– второстепенный единичный коэффициент

– перемещение точки приложения i-го неизвестного по направлению этого же неизвестного от единичного значения единичного значения k-го неизвестного.

=

– грузовой коэффициент

– перемещение точки приложения i-го неизвестного по направлению этого же неизвестного от действия заданной внешней нагрузки.

Физический смысл первого уравнения:

общее перемещение точки приложения 1-го неизвестного x₁ в основной системе под действием всех основных неизвестных (x_1, x₂ ,…,x_n) и заданной внешней нагрузки равняется 0.

Действительно, в заданной системе в (.) приложения x₁ установлена опорная связь, которая препятствует перемещению.

После определения основных неизвестных (x_1, x₂ ,…,x_n) заданная система из разряда статически неопределимой переходит в разряд статически определимой, т.е. остальные опорные реакции можно определить через уравнения статики и построить эпюры обычным способом.

Порядок расчёта статически неопределимых систем при изгибе.

Условие: при расчёте таких систем должна быть известна жесткость или хотя бы соотношение между жёсткостями, если балка непостоянного сечения.

Рассмотрим порядок, если EJ=const

1) Определим степень статической неопределимости n=m-3

2) Выбираем основную систему таким образом, чтобы она была статической определимой и геометрически неизменяемой.

3) Составляем канонические уравнения

4) Определим коэффициенты канонических уравнений. Для этого в основной системе строим эпюры моментов:

а) для определения единичных коэффициентов строим единичные эпюры изгибающих моментов

соответственно от действия

б) для определения грузовых коэффициентов строим грузовую эпюру изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки.

Единичные и грузовые коэффициенты определяем с помощью интеграла Мора.

5) Выполняем универсальную проверку для этого строим суммарную единичную эпюру

6) Решаем систему уравнений, т.е. определяем x₁; x₂;…; x_n

7) Строим эпюру изгибающих моментов для заданной системы а) обычным способом

б) используя формулу:

М_n – исправленная единичная эпюра

8) Выполняем деформационную проверку. Для этого перемножаем грузовую (М) и суммарную единичную (М_S) эпюры изгибающих моментов, используя интеграл Мора:

9) Строим эпюру поперечных сил:

а) обычным способом

б) по эпюре моментов, используя формулу:

– поперечная сила на n-м участке в сечении x

– балочная поперечная сила на n-м участке в сечении x

М_пр , М_лев – изгибающие моменты на правом и левом концах n-го участка (берём с эпюры моментов)

L_n – длина n-го участка

Примечание: каждый участок балки или рамы рассматриваем как самостоятельную балку на двух опорах. Начало участка принимаем на крайней левой опоре.

10) Строим эпюру продольных сил:

а) обычным способом

б) по эпюре поперечных сил путём последовательного вырезания узлов.

11) Проводим статическую проверку (балка или рама отрывается от опор)