4. Ядро сечения:

Ядром сечения называется область, расположенная вокруг центра тяжести поперечного сечения.

– если сила попадает в область ядра сечения, то нейтральная линя проходит за сечением, а напряжения в сечении будут только одного знака.

– если точка приложения силы лежит вне ядра сечения, то нейтральная линия проходит по сечению, а напряжения в сечении будут разных знаков.

– если точка приложения силы попадает на границу ядра сечения, то нейтральная линия будет касательной к сечению, а напряжения будут только одного знака.

Используя последнее условие и уравнение отрезков, можно определить границы ядра сечения. Для этого необходимо задаваться положением нейтральной оси таким образом, чтобы она была касательной к сечению. Обойдя сечение по контуру, мы определим точки границы ядра сечения.

Частные случаи построения ядра сечения:

1)

вследствие симметрии получим ромб (1-2-3-4)

2)

вследствие симметрии получим круг.

Устойч-ть центрально сжатых стержней

Устойчивость – способность системы сохранять свою первоначальную форму под действием внешних сил.

В практике часто встречают случаи, когда разрушение стоек происходит при напряжениях, значительно меньших предела прочности. Разрушение происходит в результате искривления стоек, т.е. в поперечном сечении стоек появляются дополнительные напряжения. Стойки разрушаются от деформации изгиба (М_и=F·x)

Деформация и потеря устойчивости от сил, действующих вдоль оси стойки, называется продольным изгибом.

Критическая сила – наибольшее значение внешней нагрузки, при которой стойка сохраняет своё устойчивое положение.

При сжимающей силе меньшей величины критической силы, стойка работает на сжатие. Даже при небольшом превышении сжимающей силы величины критической силы, стойка прогибается, прогибы нарастают чрезвычайно быстро (отсутствуют max силы между напряжениями и деформациями) и стойка или разрушается или получает недопустимо большие деформации, поэтому критическую силу рассматривают как результирующую силу. Допускаемая сжимающая сила F_доп ([F], F_адн) должна быть меньше величины критической силы в несколько раз. Это условие устойчивости прямолинейного стержня можно представить в виде:

Величину критической силы можно определить по формуле Эйлера.

Вывод ф–лы Эйлера для критической силы.

И з теории плоского изгиба известно приближённое дифференциальное уравнение:

– минимальная жёсткость

Потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жёсткости.

Знак минус берём потому, что стержень изгибается выпуклостью вниз, а перемещение происходит в отрицательном направлении оси Y.

A и В – постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий.

граничные условия:

стержень изгибается по синусоиде

n – число полуволн

Таким образом получается бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих разным формам искривления стержня. С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при которой происходит потеря устойчивости:

а) n=0 не даёт решения задачи

б) n=1:

– наименьшее значение критической силы

– формула Эйлера для нахождения критической силы, соответствующей изгибу стержня по синусоиде с одной полуволной.

влияние условий закрепления стоек на величину критической силы

Формула получена для стержня, который имеет шарнирное закрепление концов. Этот способ принято считать основным способом закрепления. При других способах закрепления концов стержня можно получить формулу для определения критической силы путём сопоставления формы изогнутой оси данного конца стержня с формой, которая получается у стержня с шарнирным закреплением. Общий вид:

μ – коэффициент приведения длины стержня (зависит от способа закрепления)

μl =l₀ – приведённая длина стержня

Основные способы закрепления:

Определение критических напряжений

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы:

Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо выполнить несколько условий:

т.к. при выводе формулы Эйлера пользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси, вывод которого основан на законе Гука.

Формула Эйлера справедлива только для стоек большой гибкости.

сталь 3 λ ≥ 100

чугун λ ≥ 80

дерево λ ≥ 75

хромомолибден λ ≥ 70

классификация стоек по гибкости

λ ≥ 70-100 – стойки большой гибкости

30-40 ≤ λ ≤ 70-100 – стойки средней гибкости

λ ≤ 30-40 – стойки малой гибкости

Стойки средней гибкости можно рассчитать по формуле:

а и b – коэффициенты, зависящие от материала

сталь 3: а = 310 МПа

b = 1,4 МПа

Стойки любой гибкости можно рассчитать, используя практическую формулу:

Вывод дифференциального уравнения изогнутой оси балки

При выводе формулы нормальных напряжений в поперечном сечении балки получено:

EJ_x – жесткость при изгибе

Из курса математики известно зависимость для определённой кривизны линии:

– угол поворота балки

Производная является малой величиной, а возводя её в квадрат, получаем величину 2-го порядка малости, которым можно пренебречь:

В частном случае для балки с постоянной жёсткостью (EJ_x=const) при чистом изгибе (M_x=const, Q_y=0) ось изогнётся по окружности.

переменные напряжения

Давно известно, что части машин, подвергающиеся усилиям, переменным по величине и повторяющимся большое число раз, иногда ломаются внезапно, без наличия заметных остаточных деформаций, при напряжениях, которым они сопротивляются при статических нагрузках вполне надежно. Элементы машины, изготовленные из материалов, обладающих при обычных испытаниях прекрасными пластическими свойствами — достаточным удлинением, сужением, ударной вязкостью, разрушаются без всяких видимых остаточных деформаций, как будто бы они были выполнены из хрупкого материала. Многочисленные исследования показали, что при действии переменных напряжений в металле возникает трещина, постепенно проникающая в глубь изделия. При переменных деформациях края трещины то сближаются и нажимают друг на друга, то расходятся; этим объясняется наличие гладкой, притертой зоны излома. По мере развития трещины усталости поперечное сечение ослабляется все сильнее, и наконец, при случайном толчке или ударе наступает окончательное разрушение, когда сопротивление оставшейся части сечения оказывается недостаточным. Трещина усталости является очень острым поперечным надрезом, аналогичным надрезу в образцах для ударной пробы. У дна этой трещины создается объемное напряженное состояние, обусловливающее хрупкий характер разрушения материала при ударе. Этим и объясняется наличие в изломе грубозернистой зоны, соответствующей хрупкому излому. Таким образом, хрупкий характер окончательного излома при переменных нагрузках объясняется тем, что материал оказался благодаря наличию трещины усталости в таком напряженном состоянии, которое обусловливает хрупкое, без остаточных деформаций, разрушение. Разрушение при переменных нагрузках носит местный характер, не затрагивающий всего материала конструкции в целом. Поэтому при обнаружении развивающихся трещин при переменных нагрузках во многих случаях нет необходимости ставить вопрос о смене всей конструкции; достаточно заменить поврежденные части и уничтожить причины, вызвавшие возникновение трещин. Описывая явление разрушения при действии переменных нагрузок, надо говорить не о разрушении от «усталости», а о разрушении путем постепенного развития трещины. Однако благодаря краткости этого термина и широкому распространению его в технических кругах выражение «усталость материалов» удержалось в литературе до настоящего времени, изменив лишь свой смысл: под этим термином в дальнейшем и будем подразумевать разрушение при постепенном развитии трещины. Можно считать, что примерно 90% всех поломок частей машин являются следствием развития трещин усталости.