10 Задание

1) Пусть α≤x<+∞, 0≤f(x)≤g(x). Если (x)dx сходится, то (x)dx тоже сходится

2) Если функция f(x) непрерывна при 0≤x<+∞, то, по определению, (x)dx равен lim(x)dx

3) Если сходится f(x)|dx, то (x)dx тоже сходится

4) Если функция f(x) непрерывна при -∞≤x<b, то, по определению, (x)dx равен (x)dx

5) Пусть a≤x<+∞, 0≤f(x)≤g(x). Если (x)dx расходится, то (x)dx тоже сходится

6) Если функция f(x) непрерывна при a≤x≤b и (x)=∞, то, по определению, (x)dx равен (x)dx

7) Если при α≤x<+∞, 0≤f(x)≤g(x) и А=(x)dx<+∞, а B=(x)dx, то справедливо соотношение 4 A≤B

8) Если функция f(x) непрерывна при x∈[a,c)(c,b], c∈(a,b) и функция f(x) не ограничена в любой окрестности точки с, то (x)dx равен +]

9) Если функция f(x) непрерывна при a<x≤b и (x)=∞, то, по определению, (x)dx равен (x)dx

10) Несобственный интеграл (x)dx=(x)dx называется сходящимся, если ∃ конечный предел в правой части ф-ль (x)dx=(x)dx

11 Задание

1) По теореме о среднем значении, для непрерывной на отрезке [a,b] функции f существует точка c∈(a,b), такая что =f(c)(b-a) Док. E(f)=[m,M], m=minf[a,b], M=maxf[a,b], по т-ме Вейерштрассе: m≤f(x)≤M ∀x∈[a,b]. m(b-a)≤(x)≤M(b-a), m≤(x)≤M,:(x)∈[m,M]=E(f) ⇒ ∃c∈[a,b]: f(c)=⇒ f(c)(b-a)=

2) Формулировка теоремы о замене переменной в неопределенном интеграле такова: (x(t))·x’(t)dt=(x)dx|_x=x(t) Док. ｺF(x) – первообразная к f(x)⇒(x(t))·x’(t)dt=(x(t))·dx(t)=(x)dx|_x=x(t)=F(x)|_x=x(t)+C

3) Формулировка теоремы об интегрировании по частям для неопределенного интеграла такова:dv=uv-du Док. dv+du=udv+vdu]=d(uv)]=u·v⇒dv=uv-du

4) Теорема о формуле Ньютона-Лейбница имеет вид: Если F(x) – первообр-я непр. ф-и f(x) на [a,b], то Док.F(x) и - 2 первообраз. к ф-ииf⇒ 1)B(1) x=0: 0=⇒c=-F(a) B(2)

5) По теореме об оценке определенного интеграла, если f(x) непрерывна на [a,b] , m - наименьшее, M - наибольшее значения f(x) на [a,b] , то m(b-a)≤≤M(b-a) Док. m(b-a)=≤M(b-a)

6) По теореме о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то производная F’(x)=((t)dt)’ равна f(x) Док.-==f(c)⇒[-f(x)

7) Если функции f(x) и |f(x)| интегрируемы на [a,b], то для интегралов f(x)|dx и |(x)dx| верно соотношение |(x)dx|≤f(x)|dx Док. ||=|₊-_-|≤₊+_-=₊+f_-)=

8) Формулировка теоремы об интегрировании по частям в определенном интеграле имеет вид: (*)dv=uv-du Док. dv+du=udv+vdu]=d(u·v)]=u·v⇒(*)

9) Если функция f(x) непрерывна и положительна на отрезке [a,b], то для (x)dx выполняется неравенство: Если f(x)≥0 на [a,b], то (x)dx≥0 Док. По т-ме о сред. знач. (x)dx=f(с)(b-a), где c∈[a,b] f(x)≥0, ∀x∈[a,b] ⇒ f(c)≥0, b-a>0 ⇒f(с)(b-a)≥0 ⇒(x)dx≥0

10) Если функции f и φ интегрируемы на отрезке [a,b] и удовлетворяют на нем неравенству f(x)≤φ(x), то для интегралов (x)dx и (x)dx верно соотношение (x)dx≤(x)dx Док. (φ(x)- f(x))≥0 ∀x∈(a,b) ⇒ 0≤=-⇒(x)dx≤(x)dx