2. Комплексная функция действительного переменного.

Задание комплексной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t), где tR, равносильно заданию вектор-функции (x(t),y(t)). Поэтому понятие предела, непрерывности, производной вектор-функции переносятся на комплекснозначную функцию действительного переменного z=z(t): [lim(tt₀)z(t)= a+bi] [lim(tt₀)x(t)= a & lim(tt₀)y(t)= b]; [z(t) c{t₀}] [x(t) c{t₀} & y(t) c{t₀}], z(t₀)= lim(tt₀)(z(t)-z(t₀))/(t-t₀)= x(t₀)+ iy(t₀). z(t₀) есть касательный вектор к кривой z=z(t) в точке z(t₀), указывающий положительное направление. Если z(t) непрерывна и отлична от нуля, то кривая гладкая. Определённым интегралом от комплекснозначной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t) называется комплексное число (а to b)z(t)dt= (а to b)x(t)dt+ i(а to b)y(t)dt.

3. Функция комплексного переменого. Предел. Непрерывность.

Отображение : СС называеься функцией комплексного переменного w=(z). Она отображает точки z=x+ iy плоскости (z) в точки w=u+ iv плоскости (w). Если каждая точка z имеет только один образ w=(z), то функция называется однозначной, если несколько образов, то многозначной. Определения предела и непрерывности функции комплексного переменного (z) дословно совпадают с определениями для функции действительного переменного. Поэтому теория пределов и непрерывности переносится и на функции комплексного переменного. Если выделим у функции w=(z) действительную и мнимую части: w=u+ iv= (z)= (x+iy)= u(x,y)+ iv(x,y), то получим, что задание функции комплексного переменного w=(z) равносильно заданию двух действительнозначных функций действительных переменных u= u(x,y), v= v(x,y). Можно доказать, что если (z)= u(x,y)+ iv(x,y), z₀=x₀+ iv₀, то [lim(zz₀)(z)= A+ iB] [lim((x,y)(x₀,y₀))u(x,y)= A & lim((x,y)(x₀,y₀))v(x,y)= B]. Отсюда следует, что [lim(zz₀)(z)= (z₀)] [lim((x,y)(x₀,y₀))u(x,y)= u(x₀,y₀) & lim((x,y)(x₀,y₀))v(x,y)= v(x₀,y₀)], т.е. непрерывность функции комплексного переменного w=(z) в точке z₀ равносильна непрерывности её действительной и мнимой частей u(x,y), v(x,y) в точке (x₀,y₀).

4. Основные элементарные и гиперболические функции.

Экспонента. w= e^z= expz= e^x(cosy+ isiny). u= Ree^z= e^xcosy, v= Jme^z= e^xsiny, |e^z|= e^x= e^Rez, Arge^z= y+2k= Jmz+ 2k.

1) ( z₁,z₂ C) [e^z1+z2= e^z1e^z2], ( zC, nN) [(e^z)ⁿ= e^nz, e^-z= 1/e^z];

2) Экспонента – периодическая функция с чисто мнимым периодом Т= 2i: e^z+2i= e^ze^i2= e^z(cos2+ isin2)= e^z.

3) ( zC) [e^z0]: [e^z=0] |e^z|=0  e^x=0, что невозможно.

4) lim(z)e^z не существует: lim(z=x-)e^z= lim(x-)e^x= 0, lim(z=x+)e^z= lim(x+)e^x= + - разные пределы.

5) [u= e^xcosy c(R²), v=e^xsinyc(R²)] [w= e^zc(C)], при z=x R (y=0) e^z совпадает с обычной показательной функцией e^x.

Тригонометрические функции.

cosz= (e^iz+e^-iz)/2, sinz= (e^iz-e^-iz)/2i, tgz= sinz/cosz, ctg= cosz/sinz.

1) Сохраняются все известные тригонометрические формулы.

2) cosz и sinz имеют период Т=2, tgz и ctgz – период Т=.

3) Нули тригонометрических функций. sinz=0 z=k, cosz=0 z=/2+k, tgz=0 z=k, ctgz=0 z=/2+ k.

4) [e^iz, e^-iz c(C)] [cosz, sinz c(C)], [cosz, sinz c(C)] [tgz непрерывна при z/2+k, ctgz непрерывна при zk]. При z=x R (y=0) тригонометричекие функции совпадают с особыми тригонометричекими функциями действительного переменного.

Гиперболические функции, их связь с тригономнтрическими функциями.

chz= (e^z+e^-z)/2, shz= (e^z-e^-z)/2, thz= shz/chz, cthz= chz/shz.

1) Верны известные свойства:

ch²z- sh²z= 1, ch²z+ sh²z= ch2z, 2shzchz=sh2z, ch(z₁+z₂)= chz₁chz₂+ shz₁shz₂, sh(z₁+z₂)= shz₁ch₂+ chz₂shz₁

2) Из периодичности экспоненты e^z (T=2i) следует, что chz, shz имеют тот же период T=2i, thz и cthz имеют преиод T=i.

3) из e^z(Незнаю! У Минора написано - самостоятельно)

4) Сравнивая определения cosz и chz, sinz и shz, видим: chiz= cosz, shiz/i= sinz.

Логарифм. w= Lnz – функция, обратная для z=e^w. Найдём w=u+ iv, если z=e^i, где =argz. [e^w=z] [e^u+iv= e^i] [e^ue^iv= e^i] [e^u=  & v=+2k] [u=ln, v=+2k] Lnz= ln|z|+ i(argz+2k)= ln|z|+ iArgz.

1) Ln0 не определён (т.к. ln0 и arg0 не определены).

2) w=Lnz – бесконечнозначная функция (из-за 2ki). Главным значением логарифма называется значение lnz= ln|z|+ iargz, это – однозначная функция. Общий логарифм Lnz= lnz+2ki.

3) Верны обычные правила логарифмирования: Ln(z₁z₂)= Lnz₁+ Lnz₂, Ln(z₁/z₂)= Lnz₁- Lnz₂, Lnzⁿ= nLnz, Lnⁿ(z)= (1/n)Lnz (nN) (равенства с точностью до 2ki). При z=xR, x>0, главный логарифм совпадает с обычным логарифмом числа x: lnz= ln|z|+ iargz= |z=x, argx=0|= ln|x|= lnx.

Комплексная степень комплексного числа.

Для положительных чисел , известно равенство: ^= |= e^ln|= e^ln= exp(ln). Выражение e^Ln= exp(Ln) имеет смысл для любых компл. чисел 0 и , и его принимают за комплексныю степень  комплексного числа 0: ^= e^Ln= exp(Ln). w=z^= e^aLnz – общая степенная функция (z0). w=a^z= e^zLna – общая показательная функция (а0).

4.1.Производная функции комплексного переменного.

Определение 1. [однозначная функция комплексного переменного w=f(z) дифференцируема в точке z₀ (f(z)D{z₀})]  [приращение w представимо в виде w =kz+(z)z, где k =a+ib =const, lim(при z0)(z) =0]. Как и для функции одного действительного переменного, можно доказать, что [f(z)D{z₀}]  [сущ-ет конечная производная f `(z<sub>0</sub>) =lim(при z0)w/z], причем оказывается, что k=f `(z₀). Можно доказать также, что f(z)D{z₀}  f(z)C{z₀}.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексной переменной. [w=f(z) =u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z₀ =x₀+iy₀]  [1) u(x,y), v(x,y)D{(x₀, y₀)}, 2)ðu/ðx(x₀, y₀) =ðv/ðy(x₀, y₀); ðu/ðy(x₀, y₀) =-ðv/ðx(x₀, y₀) (условия Коши-Римана)]

  [w=f(z)D{z₀}] определение 1 [w =kz+(z)z, где k =a+ib=const, (z) =(x, y)+i(x, y)0 при z0  (x, y)(0, 0)]  [w =u+iv =(a+ib)(x+iy)+(+i)(x+iy) =(ax-by+x-y)+i(bx+ay+x+y)]  [u =ax-by+x-y, где a=A₁, b=B₁, =₁, =₁; v =bx+ay+x+y, где b=A₂, a=B₂, =₂, =₂; где A_j, B_j =const, _j(x, y), _j(x, y)0 при (x, y)(0, 0)]  [по определению дифференцируемости двух переменных: u(x, y),

v(x, y)D{(x₀, y₀)}, причем a =ðu/ðx, -b =ðu/ðy, b =ðv/ðx, a =ðv/ðy]  [1) u(x, y), v(x, y)D{(x₀, y₀)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx].

• [1) u,vD{(x₀, y₀)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx]  [1) u =A₁x+B₁y+₁x+₁y, v =A₂x+B₂y+₂x+₂y, где A₁ =ðu/ðx, B₁ =ðu/ðy, A₂ =ðv/ðx, B₂ =ðv/ðy; _j(x, y), _j(x, y)0 при (x, y)(0,0); 2) A₁ =B₂ (обозначим а), A₂ =-B₁ (обозначим b)]  [u =ax-by+₁x+₁y, iv =ibx+iay+i₂x+i₂y]  [w =u+iv =

=(a+bi)x+(-b+ia)y+(₁+i₂)x+(₁+i₂)y =(a+ib)x+i(a+ib)y+z[(₁+i₂)x/z+(₁+i₂)y/z] = =(a+bi)(x+iy)+(z)z]  [w =kz+(z)z, где k =a+ib =const, (z)0 при z0. Действительно, z0  (x, y)(0,0)  _j, _j0  ₁+i₂, ₁+i₂0; кроме того, x/z1, y/z1 (т.к. xz, yz). Значит, (z) есть сумма произведений бесконечно малых функций на ограниченные и потому (z)0]  по определению 1  [f(z)D{z₀}] 

Из т-мы получаются и формулы для вычисления производной f `(z) по действительной и мнимой частям функции f(z) =u+iv: f `(z) =k =a+ib =a=A₁=B₂=ðu/ðx=ðv/ðy, b=A₂=-B₁=ðv/ðx=-ðu/ðy =ðu/ðx+iðv/ðx =ðu/ðx-iðu/ðy =ðv/ðy+iðv/ðx =ðv/ðy-iðu/ðy (1). (f `(z) =u`_x+iv`<sub>x</sub> формально получается как (u+iv)`_x). Правила дифференцирования для w=f(z) те же, что и для функции одного действительного переменного (т.к. эти правила получаются из теории пределов, которая сохраняется). Сохраняется и таблица производных. Например, (e^z)` =(e<sup>x</sup>cosy+ie<sup>x</sup>siny)`_x =e^xcosy+ie^xsiny =e^x(cosy+isiny) =e^z; (cosz)` =[1/2(e<sup>iz</sup>+e<sup>-iz</sup>)]` =1/2[(e^iz)`+(e<sup>-iz</sup>)`] =1/2(ie^iz-ie^-iz) =i/2(e^iz-e^-iz) =i²/(2i)(e^iz-e^-iz) =-1/(2i)(e^iz-e^-iz) =-sinz.

Определение 2. Если f(z) дифференцируема в точке z₀ и во всех точках некоторой ее окрестности, то она наз-ся аналитической в точке z₀ (голоморфной). Обозначение f(z)H{z₀} (Holomorphos). Функция, аналитическая на всей плоскости (f(z)H(C)) наз-ся целой функцией.

Пример. W =zRez =(x+iy)x =x²+ixy. u=x², v=xy  u`<sub>x</sub> =2x, u`_y =0, v`<sub>x</sub> =y, v`_y =x непрерывны на всей плоскости  достаточное условие дифференцируемости  1) u=x², v=xy дифференцируемы на всей плоскости; 2) u`<sub>x</sub> =v`_y, u`<sub>y</sub> =-v`_x только в точке (x, y)=(0, 0). Значит, w=zRez дифференцируема только в одной точке z=0: f `(0) =(x<sup>2</sup>+ixy)`_x =2x+iy (в точке (x, y)=(0, 0)) =0+i0 =0, f `(0)=0. Ни в одной точке функция не аналитическая (в окрестности точки z=0 нет дифференцируемости). Заметим, что выражение (x<sup>2</sup>+ixy)`_x =2x+iy можно формально записать и для точек (x, y)(0, 0). Однако это не будет производной f `(z), т.к. она не сущ-ет.

Связь аналитических функций с гармоническими.

Дальше будет показано, что если f(z) аналитична в области G, то она бесконечно дифференцируема в этой области. Значит, все f⁽ⁿ⁾(z)C(G). По формулам (1) f `(z) выражается через все частные производные первого порядка функций

u(x,y) и v(x,y). Значит, f⁽ⁿ⁾(z) выражается через все частные производные n-го порядка от этих функций. В силу f⁽ⁿ⁾(z)C(G) все эти частные производные должны быть непрерывными. Итак, если f(z)H(G), то ее действительная и мнимая части u(x,y), v(x,y) имеют в области G непрерывные частные производные любого порядка. Для первых частных производных имеем: ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx. Отсюда ð²u/ðx² =ð²v/(ðyðx), ð²u/ðy² =-ð²v/(ðxðy), но ð²v/(ðyðx), ð²v/(ðxðy)C(G)  ð²v/(ðyðx) =ð²v/(ðxðy), поэтому ð²u/ðx²+ð²u/ðy² =0. Аналогично ð²v/ðx²+ð²v/ðy² =0

Определение. Функция (x,y), имеющая в области G непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа:  =0  (ð²/ðx²+ð²/ðy²) =0  ð²/ðx²+ð²/ðy² =0, наз-ся гармонической в области G.

Т.о., для функции f(z)=u+iv, аналитической в области G, действительная и мнимая части u(x,y) и v(x,y) явл-ся гармоническими функциями в области G. Они связаны условиями Коши-Римана, поэтому их называют сопряженными гармоническими функциями.