7.1.Определение и вычисление вычета.

Определение: Коэффициент C_-1 при 1-ой степени z-a ряда Лорана в окрестности точки z=a наз-ся вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z=a. C_-1=Res f(z) (в точке z=a). Из формулы для коэффициентов ряда Лорана имеем C_-1=

=1/(2i)(по замкнутой ) f(z)dz/(z-a)^-1+1 Res f(z)(в точке z=a)=1/(2i)(по )f(z)dz (1)

(произведение 1/(2i) на интеграл от функции по любой замкнутой кусочно-гладкой кривой в окрестности точки z=a вокруг точки z=a). Если z=a - устранимая особая точка, то C_-1=0, т.е. Res f(z)=0. В других случаях, кроме формулы (1), вычет можно найти непосредственно из разложения в ряд Лорана. В случае, когда z=a - полюс k-го порядка, можно получить еще одну формулу для вычисления вычета: Res f(z)=1/(k-1)!lim [f(z)(z-a)^k]^(k-1) . В частности, если z=a - простой полюс (k=1), то Res f(z)=lim f(z)(z-a).

Пример: f(z)=cosz/(z-1)³, Res f(z) (в точке z=1) - ?

f(z)=1/(z-1)³cosz, где (z)=coszH(O(1)), (1)=cos10  по определению полюса z=1 - полюс 3-го порядка.

Res f(z)=1/2!lim [cosz/(z-1)³(z-1)³]``=1/2lim(-cosz)=-cos1/2.

Вычет в бесконечноудаленной точке.

Внешность круга zR наз-ся окрестностью бесконечноудаленной точки: О()={z: zR}. Если f(z)Н(О()), то в кольце О() функция разлагается в ряд Лорана по степеням z-0=z: f(z)=...+C_-k/z^k+ ...+C_-1/z+C₀+C₁z+...+C_kz^k+... Этот ряд наз-ся рядом Лорана для функции f(z) в окрестности бесконечности. ...+C_-k/z^k+...+C_-1/z+C₀ - правильная часть, C₁z+...+C_kz^k - главная часть.

Определение: Res f(z) (в точке z=)=1/(2i)(по замкнутой -)f(z)dz, где (-) - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур в окрестности бесконечности, который обходится вокруг “” в положительном направлении (а значит, вокруг 0 обходится в отрицательном направлении).

Т.к. C_-1=1/(2i)(по )f(z)dz, то Res f(z) (в точке z=)= - С_-1

Пример: f(z)=z²/(1-z). Особая точка z=1. В О()={z: z1} функция аналитична. Ряд Лорана в окрестности : f(z)=

=z²1/(1-z)= вынесем z1=z²1/z1/((1/z)-1)= -z1/(1-(1/z))= 1/z1= -z(1+1/z+1/z²+...)= -z-1-1/z-1/z²-...  Res f(z) (в точке z=)=1.

Т-ма Коши о вычетах.

Если f(z) аналитична в односвязной замкнутой области G за исключением конечного числа изолированных особых точек а₁,...,а_n внутри G, то интеграл от f(z) по границе области G (в положительном направлении) равен произведению 2i на сумму вычетов этой функции в точках а₁,...,а_n.

 Окружим а₁,...,а_n попарно не пересекающимися кусочно-гладкими контурами ₁,...,_n. В многосвязной области вне этих контуров f(z) аналитична, и по т-ме Коши для многосвязной области: (по )f(z)dz= (по _k)f(z)dz=2i1/(2i)(по _k)f(z)dz=2iRes f(z) (в точке z=a_k) 

Т-ма о сумме вычетов в расширенной комплексной плоскости.

Если аналитическая функция имеет на плоскости конечное число изолированных особых точек, то сумма ее вычетов во всех особых точках, включая z=, равна нулю.

 Проведем окружность z=R столь большого радиуса R, чтобы все конечные особые точки а₁,...а_n попали внутрь. Тогда по т-ме Коши о вычетах: (по )f(z)dz=2iRes f(z) (в точке z=a_k)  Res f(z) (в точке z=a_k)+1/(2i)(по -)f(z)dz=0  определение вычета в бесконечноудаленной точке Res f(z) (в точке z=a_k)+Res f(z) (в точке z=)=0 

Следствие. Res f(z) (в точке z=)= - Res f(z) (в точке z=a_k).

7.3.Вычисление некоторых определенных интегралов от функций действительного переменного с помощью вычетов.

1.Несобственный интеграл. (от - до +)f(x)dx (xR). Вместо f(x) рассмотрим f(z), где zC. Если f(z) имеет в верхней полуплоскости конечное число изолированных особых точек, а на оси Ох не имеет, то эти особые точки можно заключить в достаточно большой полукруг радиуса R. Тогда [(по )f(z)dz=2iRes f(z)]  [(от -R до R)f(z)dz+(по C_R)f(z)dz= =2iRes f(z)]  [(от -R до R)f(x)dx=2i - (по C_R)f(z)dz]  R  [(от - до +)f(x)dx=2i - lim (по C_R)f(z)dz (при R)]. Доказано, например, что если lim zf(z)=0 (при z) (т.к. если f(z) - рациональная дробь, то это имеет место если степень знаменателя больше степени числителя на 2 и более), то lim (по С_R)f(z)dz=0 (при R+), и потому (от - до +)f(x)dx=2iRes f(z) (в точке z=a_k)

Пример: (от - до +)dx/(x⁴+4). Рассмотрим f(z)=1/(z⁴+4). Особые точки: z=⁴-4=1+i, -1+i, -1-i, 1-i. В верхней полуплоскости z=1+i, -1+i (простые полюсы). lim zf(z)=lim z/(z⁴+4)=0 (при z). Поэтому (от - до +)dx/(x⁴+4)=

=2i(Res f(z) (в точке z=1+i) + Res f(z) (в точке z=-1+i))=2i((1-i)/16 - (1+i)/16)=/4.

2. (от 0 до 2)R(cost, sint)dt, где R(cost, sint) - выражение, рациональное относительно cost, sint (т.е. они связаны четырьмя арифметическими действиями). Будем считать, что этот интеграл есть результат вычисления интеграла от некоторой функции комплексного переменного f(z) по окружности z=1: (по z=1)f(z)dz= на z=1: z=1e^it, t[0, 2]= =(от 0 до 2)f(e^it)ie^itdt=(от 0 до 2)R(cost, sint)dt. Установим вид этой функции. Должно быть: [f(e^it)ie^it=R(cost, sint)]

 [f(e^it)ie^it=R((e^it+e^-it)/2, (e^it-e^-it)/2i)]  e^it=z  [f(z)=1/(iz)R(1/2(z+1/z), 1/2i(z-1/z)]. Здесь z участвует в четырех арифметических действиях, значит f(z) есть рациональная функция от z, т.е. частное двух многочленов: f(z)=P_m(z)/Q_n(z). Многочлен Q_n(z) имеет только конечное число нулей, следовательно, f(z) может иметь только конечное число особых точек - полюсов. Поэтому (по z=1) может быть вычислен с помощью вычетов, попавших в круг z1:

(от 0 до 2)R(cost, sint)dt=подставка e^it=z=(по z=1)f(z)dz=2iRes f(z).

Пример: (от 0 до 2)dt/(cost-2)= e^it=z, ie^itdt=dz, iz=dz, dt=dz/(iz), cost=1/2(z+1/z) =(по z=1)dz/(iz(1/2(z+1/z)-2))= =2/i(по z=1)dz/(z²-4z+1). f(z)=1/(z²-4z+1) имеет простые полюсы z₁=2-3, z₂=2+3. Из них z₁=2-3=2-31, z₂=2+31 - вне круга  (от 0 до 2)dt/(cost-2)=2/i2iRes f(z) (в точке z=2-3)=2/i2i(-1/(23))=-2/3.

8.Операционное исчисление.

8.1.Преобразование Лапласа.

Определение 1: Преобразованием Лапласа для комплекснозначной функции действительного переменного f(t) наз-ся несобственный интеграл с комплексным параметром р: (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=F(p)=(f(t)) (1)

Эта функция комплексного переменного F(p) наз-ся также изображением функции f(t) (по Лапласу). (Оператор Лапласа). F(p)f(t), F(p)f(t).

Т-ма о существовании изображения.

Если: 1) f(t) кусочно-непрерывна на [0, +[ (т.е. на каждом конечном отрезке [a, b][0, +[ может иметь только конечное число точек разрыва 1-го рода - устранимых или скачков), 2) f(t) при t+ растет не быстрее экспоненты: f(t)Me^t, где М0 и 0 - некоторые постоянные, то в полуплоскости Rep сущ-ет изображение F(p) (т.е. несобственный интеграл (1) сходится), аналитическое в этой полуплоскости.

• Сначала заметим, что благодаря равенству (от a до b)z(t)dt=(от a до b)x(t)dt+i(от a до b)y(t)dt определенный интеграл от комплекснозначной функции действительного переменного обладает обычными св-вами интеграла от действительнозначной функции действительного переменного. Т.к. e^-ptC[0, +[, то f(t)e^-pt, f(t)e^-pt тоже кусочно-непрерывны на [0, +[, и потому сущ-ют (от 0 до b)f(t)e^-ptdt и (от 0 до b)f(t)e^-ptdt. Если покажем, что при Rep интеграл (1) абсолютно сходится, т.е. сущ-ет (от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b), то отсюда будет следовать, что и сам интеграл (1) сходится, т.е. сущ-ет F(p)=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt=lim (от 0 до b)f(t)e^-ptdt (при b). Воспользуемся признаком сравнения ( если (x[a, +[)[f(x)0, (x)0, f(x)(x)], то из сходимости (от a до +)(x)dx следует сходимость интеграла (от а до +)f(x)dx ). Если Rep, то (t[0, +[): f(t)e^-pt=f(t)e^-pt=  e^z=e^x=e^Rez = =f(t)e^Re(-pt)=f(t)e^-(Rep)tMe^te^-(Rep)tdt  f(t)e^-ptMe^(-Rep)t. Интеграл (от 0 до +)Me^(-Rep)tdt сходится:

lim (от 0 до b)Me^(-Rep)tdt=Mlim (e^(-Rep)t/(-Rep)) (от 0 до b)=M/(-Rep)lim (e^(-Rep)b-1)= -Rep0  e^(-Rep)b0(e^-) = =M/(Rep-). Значит, и (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится  (от 0 до +)f(t)e^-ptdt сходится. Аналитичность F(p) в области Rep примем без док-ва. 

Определение 2: Комплекснозначная функция действительного переменного f(t), определенная на [0, +[ и удовлетворяющая условиям 1) и 2) т-мы о существовании изображения, наз-ся оригиналом. Число  наз-ся показателем роста оригинала.

Ясно, что если ₁, то тем более f(t)Me^1t, поэтому любое большее число ₁ также явл-ся показателем роста. Если бывает нужно рассмотреть оригинал f(t) на всем интервале ]-, +[ , то полагают f(t)=0 при t0. Оригиналами явл-ся все ограниченные кусочно-непрерывные функции: f(t)M  f(t)Me^0t (показатель роста =0). Например, f(t)=cost, sint. Все степенные функции f(t)=t^ (R), т.к. они растут медленнее экспоненты. Все показательные функции f(t)=a^t (aC): a^t=

=e^tLna=e^{t(lna+iArga)}=e^tlna  =lna. Примеры не оригиналов: f(t)=tgt (имеет разрывы 2-го рода t=/2+k). f(t)=e^{t^2} (растет быстрее e^t). Согласно т-ме о существовании изображения, для каждого оригинала f(t) с показателем роста  сущ-ет и притом единственное изображение F(p), аналитическое в полуплоскости Rep.

Т-ма обращения. Если f(t) - оригинал с показателем роста , а F(p) - его изображение, то во всех точках, где f(t) непрерывна, выполняется равенство f(t)=1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)e^ptdp=^-1(F(p)), (2)

где а - любое действительное число, большее , а интеграл берется по прямой ={p: Rep=a} и понимается как предел интеграла по отрезку от a-ib до a+ib при ba.

 Без док-ва 

Т.о., каждому изображению F(p) по формуле (2) соответствует единственный оригинал f(t) (с точностью до значений в точках разрыва: оригиналы, отличающиеся значениями только в точках разрыва, имеют одно и то же изображение F(p)=

=(от 0 до +)f(t)e^-ptdt, т.к. значения функции f(t) в конечном числе точек не влияют на величину интеграла. Интеграл (2) наз-ся обратным преобразованием Лапласа.

Изображения некоторых элементарных функций.

1) Единичная функция Хевисайда. =1(t)={0, при t0; 1, при t0.

(т.к. для изображения F(p) значение функции f(t) в одной точке не имеет значения, то (0) можно не задавать). Т.к. (t) ограничена, то показатель роста =0, и в полуплоскости Rep0 сущ-ет аналитическое изображение F(p)=((t))=

=(от 0 до +)(t)e^-ptdt=(от 0 до +)e^-ptdt=e^-pt/-p (от 0 до +)= e^-pt=e^-Rept0  e^-pt0=0+1/p; (t)1/p, или 11/p.

2.Экспонета e^t, C. e^t=e^Ret  =Re, и в полуплоскости RepRe: F(p)=(e^t)=(от 0 до +)e^te^-ptdt=e^(-p)t/(-p) (от 0 до +)=  e^(-p)t=e^(Re-Rep)t0  e^(-p)t0 =0+1/(p-); e^t1/(p-).

3.Степенная функция tⁿ (nN). При t tⁿe^t при любом 0, так что показатель роста =inf{}=0, и в полуплоскости Rep0: F(p)=(tⁿ)=(от 0 до +)tⁿe^-ptdt= u=tⁿ; dv=e^-ptdt =tⁿ(-1/pe^-pt)(от 0 до +) - (от 0 до +)(-1/pe^-pt)nt^n-1dt=  e^-pt=

=e^-Rept0  tⁿe^-pt=tⁿe^-Rept0  tⁿe^-pt0 =0+n/p(от 0 до +)t^n-1e^-ptdt= u=t^n-1; dv=e^-ptdt =n/p[t^n-1(-e^-pt/p) (от 0 до +) -

(от 0 до +)(-1/pe^-pt)(n-1)t^n-2dt] =n(n-1)/p² (от 0 до +)t^n-2e^{- pt}dt=...=n(n-1)...(n-(n-1))/pⁿ(от 0 до +)t^n-ne^-ptdt=

= n!/pⁿ(-1/pe^-pt) (от 0 до +)=n!/pⁿ(0+1/p)=n!/pⁿ⁺¹; tⁿ  n!/pⁿ⁺¹.

8.2.Св-ва преобразования Лапласа.

Св-ва изображения позволяют находить изображения сложных оригиналов через известные изображения простых оригиналов, не вычисляя интеграла Лапласа.

1) Линейность. Линейная комбинация оригиналов преобразуется в линейную комбинацию изображений: для любых комплексных постоянных с₁,...,с_n c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t)  c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p).

 Если f_i(t) имеют показатели роста _i (i=1,...,n), то f(t)=c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) - оригинал с показателем роста =max{₁,...,_n}. Действительно, f(t) кусочно-непрерывная кака линейная комбинация кусочно-непрерывных функций. Кроме того, f(t)

 c₁f₁(t)+...+c_nf_n(t) c₁M₁e^1t+...+c_nM_ne^nt все _i c₁M₁e^t+...+c_nM_ne^t =Me^t, где M=c₁M₁+...+c_nM_n и по определению оригинала f(t) - оригинал с показателем роста . В полуплоскости Rep0 она имеет изображение F(p) =(от 0 до +)f(t)e^-ptdt =(от 0 до +)(c₁f₁(t)e^-pt+...+c_nf_n(t)e^-pt)dt =линейность интеграла =с₁(от 0 до +)f₁(t)e^-ptdt+...+c_n(от 0 до +)f_n(t)e^-ptdt =c₁F₁(p)+...+c_nF_n(p) 

Примеры: При любом С: sint =(e^it-e^-it)/(2i) =1/(2i)e^it-1/(2i)e^-it 1/(2i)1/(p-i)-1/(2i)1/(p+i) =/(p²+²);

sint /(p²+²). Аналогично cost p/(p²+²); sht /(p²-²); cht p/(p²-²).

2.Подобие. [f(t) F(p), Rep]  [(0): f(t) 1/F(p/), Rep] (при умножении аргумента оригинала на положительное число изображение и его аргумент делятся на это число).

 f(t) кусочно-непрерывная как сложная функция, составленная из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной функции =t. Кроме того, по условию f(t)Me^t, так что f(t) Me^(t)  f(t) Me^1t, где ₁=. Значит, f(t) - оригинал с показателем роста , и в полуплоскости Rep: (f(t)) =(от 0 до +)f(t)e^-ptdt =t=, t=/, dt=d/ =

=1/(от 0 до +)f()e^-p/d =1/F(p/) 

3.Запаздывание оригинала. [f(t) F(p), Rep]  [(0): f(t-) e^-pF(p), Rep] (включение оригинала с запаздыванием на  влечет умножение изображения на e^-p).

 f(t-) кусочно-непрерывна как сложная функция из кусочно-непрерывной функции f() и непрерывной =t-. Кроме того, по условию f(t) Me^t, так что f(t-) Me^(t-) =(Me^-)e^t  f(t-) M₁e^t, где M₁ =e^- = const. Значит, f(t-) - оригинал с показателем роста , и для Rep (f(t-)) =(от 0 до +)f(t-)e^-ptdt =при t f(t-)=0 =(от  до +)f(t-)e^-ptdt =t-=, dt=d, при t= =0, при t= = =(от 0 до +)f()e^-p(+)d =e^-p(от 0 до +)f()e^-pd =e^-pF(p) 

Пример: Найти изображение импульса величиной А за промежуток времени : f(t) ={0 при t0, A при 0t, 0 при t.

Используем единичную функцию Хевисайда: (t) ={0 при t0, 1 при t0. (t-) ={0 при t, 1 при t.  f(t) =

=A(t)-A(t-) A((t))-A((t-)) =((t)) 1/p, ((t-)) e^-p1/p =A/p-Ae^-p/p; f(t) A/p(1-e^-p).

4.Cмещение изображения. [f(t) F(p), Rep]  [e^tf(t) F(p-), Rep+Re (C)] (умножение оригинала на e^t влечет смещение изображения на вектор ).

e^tC[0, +[  e^tf(t) кусочно-непрерывна. По условию f(t) Me^t, поэтому f(t)e^t = e^tf(t) =f(t)e^(Re)t Me^te^Ret =

=Me^(+Re)t  e^tf(t) - оригинал с показателем роста +Re, и в полуплоскости Rep+Re (e^tf(t)) =

=(от 0 до +)e^tf(t)e^-ptdt =(от 0 до +)f(t)e^-(p-)tdt =F(p-) 

Примеры: sint /(p²+²)  e^tsint /((p-)²+²). Аналогично e^tcost (p-)/((p-)²+²).

5.Дифференцирование оригинала. Если f⁽ⁿ⁾(t) - оригинал с показателем роста , и f(t) F(p), то

f⁽ⁿ⁾(t) pⁿF(p)-p^n-1f(0)-p^n-2f `(0)-...-pf<sup>(n-2)</sup>(0)-f<sup>(n-1)</sup>(0) при Rep. В частности, если f(0) =f `(0) =...=f^(n-1)(0)=0, то f⁽ⁿ⁾(t) pⁿF(p)

(при дифференцировании оригинала изображение умножается на р).

Покажем сначала, что если некоторая функция g(t) есть оригинал с показателем роста , то h(t)=(от 0 до t)g(u)du есть тоже оригинал с тем же показателем роста. Во первых h(t) как интеграл с преременным верхним пределом есть непрерывная функция. Кроме того, g(t) Me^t  h(t) =(от 0 до t)g(u)du (от 0 до t)g(u)du (от 0 до t)Me^udu =M/e^u (от 0 до t) =M/(e^t-1) M/e^t  h(t) M₁e^t  h(t) - оригинал с показателем роста . Если f `(t) - оригинал с показателем роста , то, по доказанному, h(t) =(от 0 до t)f `(u)du - тоже оригинал с показателем роста . Но

(от 0 до t)f `(u)du =f(t)-f(0)  f(t)=h(t)+f(0). f(0)=const есть оригинал с показателем роста <sub>0</sub>=0. Значит (из док-ва линейности), f(t) есть оригинал с показателем роста max{, 0} =. Т.о., если f<sup>(n)</sup>(t) есть оригинал с показателем роста , то и f<sup>(n-1)</sup>(t),...,f `(t) и f(t) - оригиналы с тем же показателем роста . Поэтому при Rep: (f `(t)) =(от 0 до )f `(t)e^-ptdt =

=f `(t)dt=dv; e<sup>-pt</sup>=u =e<sup>-pt</sup>f(t) (от 0 до ) - (от 0 до )f(t)(-pe<sup>-pt</sup>)dt = f(t)e<sup>-pt</sup> =f(t)e<sup>-Rept</sup> Me<sup>t</sup>e<sup>-Rept</sup> =Me<sup>(-Rep)t</sup>0  f(t)e<sup>-pt</sup>0 =0-f(0)+p(от 0 до )f(t)e<sup>-pt</sup>dt  f `(t) pF(p)-f(0). Применяя эту формулу еще раз, получим: [f `(t)]` p[pF(p)-f(0)]-f `(0)  f ``(t) p<sup>2</sup>F(p)-pf(0)-f `(0), затем [f ``(t)]` p[p<sup>2</sup>F(p)-pf(0)-f `(0)]-f ``(0)  f ```(t) p³F(p)-p²f(0)-pf `(0)-f ``(0), и т.д. 

6) Дифференцирование изображения. [f(t) F(p), Rep]  [F⁽ⁿ⁾(p) (-t)ⁿf(t), Rep] (дифференцирование изображения влечет умножение оригинала на -t).

 F(p) - аналитическая на полуплоскости Rep, а значит, бесконечно дифференцируема: F `(p) =((от 0 до )f(t)e<sup>-pt</sup>dt)`_p =

=можно доказать законность дифференцирования под знаком интеграла =(от 0 до )(-t)f(t)e^-ptdt  F `(p) (-t)f(t). Повторяя n раз, получим F⁽ⁿ⁾)p) (-t)ⁿf(t). 

Пример: Найдем (tsint). sint /(p²+²)  (-t)sint (/(p²+²))`_p =-2p/(p²+²)²  tsint 2p/(p²+²)

7.Интегрирование оригинала. [f(t) F(p), Rep, f(t)C[0, []  [(от 0 до t)f(t)dt F(p)/p, Rep] (интегрирование оригинала влечет деление изображения на р).

 Функция (от 0 до t)f(t)dt - тоже оригинал с тем же показателем  (из док-ва св-ва дифференцирования оригинала), и в полуплоскости Rep сущ-ет ((от 0 до t)f(t)dt) =Ф(р): h(t) =(от 0 до t)f(t)dt Ф(р) по св-ву дифференцирования оригинала =((от 0 до t)f(t)dt)` pФ(р)-h(0) =pФ(р). Т.к. f(t)C[0, +[, то ((от 0 до t)f(t)dt)` =f(t), так что f(t) рФ(р). Но f(t) F(p) и ввиду единственности изображения рФ(р)=F(p)  Ф(р) =F(p)/p 

8.Интегрирование изображения. [f(t) F(p), Rep]  [f(t)/t (от р до )F(z)dz, если интеграл сходится, Rep], где интеграл берется по любому кусочно-гладкому пути от точки р до  в полуплоскости Rep (интегрирование изображения влечет деление оригинала на t).

 Без док-ва (заметим, что F(z)H{z: Rez} и потому интеграл не зависит от выбора пути. 

Пример: e^bt-e^at 1/(p-b)-1/(p-a)  (e^bt-e^at)/t (от р до )(1/(z-b)-1/(z-a))dz =главное значение логарифма =ln((z-b)/(z-a)) (от р до ) =(z-b)/(z-a)1 =ln1-ln((p-b)/(p-a))  (e^bt-e^at)/t  - ln((p-b)/(p-a)).

9.Умножение изображений. [f(t) F(p), Rep₁; g(t) G(p), Rep₂]  [F(p)G(p) (от 0 до t)f()g(t-)d,

Repmax{₁, ₂}=]

 (от 0 до t)f()g(t-)d =(t) есть интеграл с параметром t, который одновременно явл-ся и верхним пределом. Можно док-ть, что для кусочно-непрерывных функций f(t) и g(t) функция (t) явл-ся непрерывной. Кроме того, [f()M₁e^1,

g() M₂e^2]  (t) (от 0 до t)f()g(t-)d (от 0 до t)M₁e^tM₂e^(t-)d =M₁M₂(от 0 до t)e^td =M₁M₂e^t(от 0 до t)d= = M₁M₂te^t =M₁M₂te^(+)t/e^t. Т.к. lim (при t)t/e^t=0, то при t функция t/e^t ограничена: t/e^t C. Значит, (t) 

M₁M₂Ce^(+)t =Me^(+)t, т.к. inf (при 0)(+) =, то (t) есть оригинал с показателем роста  =max{₁, ₂}. Поэтому при Rep: ((t)) =(от 0 до +)((от 0 до t)f()g(t-)d)e^-ptdt =(от 0 до +)dt(от 0 до t)f()g(t-)e^-ptd =изменим порядок интегрирования =(от 0 до )d(от  до )f()g(t-)e^-ptdt =(от 0 до )f()d(от  до )g(t-)e^-ptdt =во внутреннем интеграле: t- =, dt=d, при t= =0, при t= = =(от 0 до )f()d(от 0 до )g()e^-p(+)d =

=(от 0 до )f()e^-pd(от 0 до )g()e^-pd =G(p)=const (не содержит ) =G(p)(от 0 до )f()e^-pd =G(p)F(p) 

Определение 1: Интеграл (от 0 до t)f()g(t-)d наз-ся сверткой функций f(t) и g(t): (от 0 до t)f()g(t-)d =f*g. Действие свертывания функций обладает переместительным св-вом: f*g =(от 0 до t)f()g(t-)d =t-=, d= -d, при =0 =t, при =t =0 =(от t до 0)f(t-)g()(-d) =(от 0 до t)g()f(t-)d =g*f. Т.о. св-во 9) имеет вид: f*g F(p)G(p) (свертывание оригиналов влечет умножение изображений).

Следствие (формула Дюамеля): [f(t) F(p), Rep₁; g(t) G(p), Rep₂; g(t) - оригинал]  [f(t)g(0)+f*g` pF(p)G(p), Rep=max{₁, ₂}]

pF(p)G(p) =F(p)[pG(p)-g(0)+g(0)] =F(p)[pG(p)-g(0)]+g(0)F(p). По св-ву 5): pG(0)-g(0) g`(t), по св-ву 9):

F(p)[pG(p)-g(0)] f*g`. С учетом g(0)F(p) g(0)f(t) по св-ву линейности получаем pF(p)G(p) f*g`+g(0)f(t) 

10. Умножение оригиналов. [f(t) F(p), Rep₁; g(t) G(p), Rep₂]  [f₁(t)f₂(t) 1/(2i)(от a-i до a+i)F(z)G(p-z)dz, Rep=₁+₂], где аR - любое число , а путь интегрирования такой же, как в т-ме обращения.

 Без док-ва . (интеграл в правой части наз-ся сверткой функций F(p) и G(p) в комплексной плоскости: F*G. Т.о., умножение оригиналов влечет свертывание изображений.

Таблица основных оригиналов и изображений.

1 1/p; e^t 1/(p-); tⁿ n!/pⁿ⁺¹; sint /(p²+²); cost p/(p²+²); sht /(p²-²); cht p/(p²-²); te^t 1/(p-)²;

tsint 2p/(p²+²)²; tcost (p²-²)/(p²+²)²; tsht 2p/(p²-²)²; tcht (p²+²)/(p²-²)².

Нахождение оригинала по изображению.

Оригинал f(t) можно найти по формуле обращения, вычисляя интеграл: f(t) =1/(2i)(от a-i до a+i)F(p)e^ptdp вдоль вертикальной прямой Rep=a в полуплоскости Rep, где F(p) аналитична ( - показатель роста оригинала). В частности, можно док-ть, что если в остальной части плоскости имеется только конечное число изолированных особых точек р₁,...,p_n и выполняется условие lim (при р)F(p)=0, то f(t) =1/(2i)(от a- до a+)F(p)e^ptdp =(от k=1 до n)Res F(p)e^pt. (1)

В случае, когда F(p) - рациональная функция (частное многочленов), являющаяся правильной дробью F(p)=A(p)/B(p), то она имеет на всей плоскости только конечное число полюсов (если дробь несократима, то полюсами явл-ся нули знаменателя, а их - конечное число: столько, какова степень знаменателя). Кроме того, условие lim (при p)F(p)=0 выполняется, т.к. степень знаменателя больше. Значит, для такой дроби формула (1) верна:

f(t) =(от k=1 до n)Res A(p)/B(p)e^pt

Пример 1: F(p)=p/(p²-1)² - правильная дробь, p₁=-1, p₂=1 - полюсы второго порядка.

f(t) =Res(в точке р=-1)pe^pt/(p²-1)² + Res(в точке р=1)pe^pt/(p²-1)² =1/1!lim(при р-1)(pe^pt/(p²-1)²(p+1)²)`_p +

+ 1/1!lim(при р1)(pe^pt/(p²-1)²(p-1)²)`_p =1/2tsht.

Оригинал правильной дроби можно найти также, разложив ее на простейшие дроби (методом неопределенных коэффициентов), пользуясь таблицей изображений и линейностью изображений.

Пример 2: F(p) =(3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) =A/(p-2) + (Mp+N)/(p²+4p+8) =1/(p-2) + (2p+3)/(p²+4p+8); 1/(p-2) e^2t;

(2p+3)/(p²+4p+8) =(2p+3)/((p+2)²+2²) =(2(p+2)-1)/((p+2)²+2²) =2(p+2)/((p+2)²+2²) - 1/22/((p+2)²+2²) 

2cos2te^-2t - 1/2e^-2tsin2t; (3p²+3p+2)/((p-2)(p²+4p+8)) e^2t + e^-2t(2cos2t-1/2sin2t).