- •§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
- •1473. Найти интеграл
- •1474. Найти интеграл
- •1475. Найти интеграл .
- •1476. Найти интеграл
- •6. Интегралы вида .
- •1487. Найти интеграл .
- •1488. Найти интеграл .
- •1506. Найти интеграл
- •1507. Найти интеграл
- •1508. Найти интеграл
- •§ 5. Интегрирование разных функций
- •Глава X определенный интеграл
- •§ 1. Вычисление определенного интеграла
- •§ 2. Несобственные интегралы
- •§ 3. Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 4. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •§ 5. Вычисление объема тела
- •1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.
- •§ 6. Вычисление площади поверхности вращения
6. Интегралы вида .
Тригонометрические формулы
sin α cos β= [sin (α + β) + sin (α — β)], (1)
cos α cos β = = [cos (α + β) + cos (α — β)], (2)
sin α sin β= [cos (α— β) —cos(α + β)] (3)
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
1487. Найти интеграл .
Решение. Используя формулу (1), получим
1488. Найти интеграл .
Решение. Применим к произведению cos x cos(x/2) - формулу (2):
Снова используя ту же формулу, находим
Найти интегралы:
1489. 1490.
1491. 1492.
Указание: положить ctgx=t.
1493. 1494. 1495.
1496. 1497.
1498. 1499.
1500. 1501.
1502. 1503.
1504. 1505.
7. Тригонометрические подстановки. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной относительно sin t и cos t функции с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла x=a sin t (или x=a cos t), для второго x=a tg t (или x=ctg t) и для третьего x=a sec t (или x=acosect).
1506. Найти интеграл
Решение. Положим x=a sin t, тогда dx=a cos t dt и заданный интеграл примет вид:
Для нахождения интеграла мы воспользовались формулой , так как с ее помощью легче перейти к прежней переменной x.
Таким образом, получаем
где sin t = x/a, . Следовательно,
1507. Найти интеграл
Решение. Примерим подстановку x=a tg t , откуда dx=a sec2 t dt. Тогда получим
где tg t=x/a и, следовательно, ctg t=a/x,
Итак
1508. Найти интеграл
Решение. Применим подстановку х = a sec t, откуда dx = a sec t tg t dt. Тогда получим
Далее применим рекуррентную формулу (1) п. 5 при n=1:
где . Следовательно
Найти интегралы:
1509. 1510. 1511.
§ 5. Интегрирование разных функций
Найти интегралы:
1512. . 1513 .
1514. . 1515. .
1516. 1517.
1518. 1519.
1520. 1521.
1522. 1523.
1524. 1525.
1526. 1527.
1528. 1529.
1530. 1531.
1532. 1533.
1534. 1535.
1536. 1537.
Глава X определенный интеграл
§ 1. Вычисление определенного интеграла
Пусть функция f(х) определена на отрезке [а,b]. Разделим отрезок [а, b] на п произвольных частей точками а = х0 < х1 < x2 < ... < хп-1 < хп = b, выберем на каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] произвольную точку ξk и найдем длину каждого такого отрезка: .
Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] называется сумма вида ,причем эта сумма имеет конечный предел I, если для каждого ε>0 найдется такое число δ>0, что при мах ∆xk< δ неравенство |σ-I|< ε выполняется при любом выборе чисел ξk.
Определенным интегралом or функции f (х) на отрезке [а, b] (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (мах ∆xk) стремится к нулю:
Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, b] на элементарные и от выбора точек ξk. (теорема существования определенного интеграла).
Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.
Если f(x)>0 на [а,b], то определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной линиями y = f(x), x = a, х = b, у = 0 (рис. 42).
Рис. 42
Основные свойства определенного интеграла
1°.
2°.
3°.
4°.
5°. , где С- постоянная
6°. Оценка определенного интеграла: если на [a, b], то
m(b-a)< <M(b-a)
Правила вычисления определенных интегралов
1. Формула Ньютона — Лейбница:
где F (х) — первообразная для f(x), т. е. F'(x)=f(x).
2. Интегрирование по частям:
где и = и(х), v = v (х) — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а, b].
3. Замена переменной:
где x=φ(t) — функция, непрерывная вместе со своей производной φ ' (t) на отрезке , a=φ(α), b= φ(β), f[φ(t)]— функция, непрерывная на [α, β].
4. Если f(х) — нечетная функция, т. е. f(- х) =-f (х), то
Если f(х) — четная функция, т. е. f(- x)=f(x), то
1538. Вычислить интеграл , как предел интегральной суммы.
Решение. Здесь f(x) = x2, а = 0, b = 1; разделим отрезок [0, 1] на n равных частей, тогда , выберем ξk =xk. Имеем:
;
Следовательно,
Здесь использована формула суммы квадратов натуральных чисел.
1539. Вычислить по формуле Ньютона — Лейбница.
Решение.
1540. Оценить интеграл
Решение. Так как |cos x|≤1, то при x>10 получим неравенство <10-2. Следовательно,
<8*10-2<10-1, т. е. <0,1
1541. Оценить интеграл
Решение. Поскольку , имеем
и
1542. Вычислить .
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим и = х, dv = e-xdx, откуда du = dx, v = — е-x. Тогда
1543. Вычислить
Решение. Положим ln x=t, тогда (dx)/x=dt, если x=1, то t=0; если x=e, то t=1
Следовательно,
1544. Вычислить
Решение. Положим x = r sin t; тогда dx = r cos t dt; если x = 0, то t=0; если х = r, то t = π/2. Поэтому
1545. Вычислить
Решение. Подынтегральная функция — четная, а потому
Интегрируем по частям, полагая и = х, ; тогда du = dx, v =1/cosx
Отсюда находим
Следовательно,
1546. Вычислить .
Решение. Подынтегральная функция—нечетная, следовательно, I= 0.
1547. Вычислить как предел интегральной суммы.
1548. Вычислить как предел интегральной суммы.
1549. Оценить интеграл .
1550. Оценить интеграл .
1551. Оценить интеграл .
Вычислить интегралы:
1552. 1553.
1554. 1555.
1556. 1557.
1558. 1559.
1560. 1561.
1562. 1563.
1564.
Указание: использовать свойство нечетной функции.
1565.
Указание: использовать свойство четной функции.
1566. Доказать, что
(m и n —целые положительные числа).