§ 2. Несобственные интегралы

1. Основные понятия. Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.

Несобственный интеграл от функции f (x) в пределах от a до + ∞ опреде­ляется равенством

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл назы­вается сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности, - расходящимся.

Аналогично

и

Если функция f(х) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [а, b] и непрерывна при а ≤ х < с и с < x ≤ b, то, по определению, полагают

Несобственный интеграл (где f(с)=∞, a < c < b) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.

1567. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость).

Решение. Имеем

т. е. предел не существует. Следовательно, несобственный интеграл расходится.

1568. Вычислить

Решение. Найдем

т. е. несобственный интеграл сходится.

1569. Найти

Решение. Подынтегральная функция— четная, поэтому

Тогда

Таким образом, , т. е. несобственный интеграл сходится.

1570. Найти

Решение. Подынтегральная функция f(х)= 1/х в точке x = 0 неограниченна, а потому имеем

т. е. несобственный интеграл расходится.

1571. Найти

Решение. Имеем

т. е. несобственный интеграл сходится.

Вычислить несобственные интегралы:

1572. 1573.

1574. 1575. 1576.

1577. 1578.

2. Признаки сравнения. При исследовании сходимости несобственных интег­ралов пользуются одним из признаков сравнения.

1. Если функции f (х) и φ(x) определены для всех х≥а и интегрируемы на отрезке [а, А], где А≥а, и если 0≤f(х)≤φ(x) для всех х≥а, то из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла , причем

2. (а) Если при x→+∞ функция f(x)≥0 является бесконечно малой порядка р > 0 по сравнению с 1/x, то интеграл сходится при р > 1 и расходится при р≤1.

(б) Если функция f(x) ≥0 определена и непрерывна в промежутке а ≤ х< b и является бесконечно большой порядка р по сравнению с1/(b-x) при х→b — 0, то

интеграл сходится при р < 1 и расходится при р≥ а

1579. Исследовать сходимость интеграла

Решение. По определению

Допустим, что р>1; тогда = 0. Значит, при р>1 интеграл сходится. Пусть р≤1; тогда , т. е. интеграл при р≤1 расходится.

1580. Исследовать сходимость интеграла (интеграл Френеля).

Решение. Пусть , тогда . Представим стоящий справа интеграл в виде суммы:

Первое слагаемое есть собственный интеграл, так как , а ко второму применим интегрирование по частям, полагая :

Последний интеграл сходится, так как , а интеграл сходится.

Поэтому сходится на основании признака (2а), а следовательно, данный интеграл также сходится.

1581. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Подынтегральная функция f(x)=1/(1+x¹⁰) в промежутке интегрирования меньше, чем φ(х)=1/х¹⁰, а интеграл является сходящимся.

Следовательно, данный интеграл также сходится.

1582. Исследовать сходимость интеграла (a<b).

Решение. По определению

Если р<1, то ; если же p> 1, то ; если, наконец, p = 1 , то

Следовательно, при р<1 интеграл сходится, а при р≥1 – расходится.

1583. Исследовать сходимость интеграла

Решение. Подынтегральная функция является бесконечно большой при х → 1 . Представим ее в следующем виде:

т. е. порядок этой бесконечно большой функции при х→1 по сравнению с 1/(1 - x) равен р=1/3 < 1. Поэтому данный интеграл сходится на основании признака (2б).

1584. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Подынтегральная функция f(х) в промежутке интегрирования положительна и f (х) → ∞ при х→0. Пользуясь теоремой об эквивалентных бес­конечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби: имеем , а при х→0, откуда

т. е. f (х) является бесконечно большой порядка р = 2/3 по сравнению с 1/х. Сле­довательно, по признаку (2б) заданный интеграл сходится.

Исследовать сходимость следующих несобственных интегралов:

1585. 1586. 1587.

1588. 1589.

1590. 1591.