11. Оценка дисперсии ошибок.

, - уравнение регрессии, - случайная ошибка (с ограничениями). ; ; - остатки регрессии. Надо различать остатки и ошибки регрессии. Остатки в отличии от ошибок наблюдаемы.

Предположим, что оценка σ² связана с суммой квадратов остатков регрессии

Вычислим:

Используя, получим

где

Таким образом

откуда следует, что

является несмещенной оценкой дисперсии ошибок σ².

12. Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции

Существенность коэф-ов регрессии определяет можно ли его заменить нулем. Если данный коэф-т несуществ., то его можно заменить нулем.

При выполнении дополнительного условия о совместном нормальном распределении ошибок, стандартная ошибка коэффициента регрессии параметра S_b рассчитывается по формуле

где S² — остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Отношение коэф-та регрессии к его стандартной ошибке дает t-статистику, кот. подчиняется статистике Стьюдента при (n-2) степенях свободы. Эта статистика применяется для проверки стат. значимости коэф-та регрессии.

Для оценки значимости коэф-та регрессии опр-ют фактическое знач. t-критерия Стьюдента: t_b=b/S_b , которое затем сравнивают с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2). Если t_b>t_кр, коэф-т b значим и его нельзя заменить 0.

Доверительный интервал для коэф-та регрессии опр-ся как .

Замечание: Т.к. коэф-т регрессии b для эк. Исследований имеет четкую интерпритацию доверит. Интервалы не должны содержать противоречивыхрезультатов, напр., от «-10» до 20 , т.е. положит. и отрицат.

Значимость линейного коэффициента корреляции r проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции S_r=m_r(заменить):

О тсюда фактическое значение

Данная формула свидетельствует, что в парной лин. регрессии t_r²=F =>t_r²= t_b² .

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о значимости линейного уравнения регрессии.

13. Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии

Основное назначение ур-ия регрессии — прогноз возможных знач. результата при заданном значении фактора.

Этот прогноз осущ-ся путем подстановки знач. фактора х=х_k в ур-ние регрессии . Но данный точечный прогноз не всегда реален. Он должен дополняться интервальной оценкой прогноза значения результата y*. Т.е. , где - стандартная ошибка оценки .

Получим данную оценку для лин. регрессии . Подставим это выражение в ур-ие . Отсюда следует, что стандартная ошибка зависит от ошибки и ошибки коэффициента b, т.е. .

В курсе мат. стат. получено: =S²/n,где S² – оценка дисперсии рез-ого признака.

;Получим Откуд

Где t=1,…n – номера измерений, x_k не обязано совпадать с одним из x_t.

Видно, что величина стандартной ошибки x_k зависит от . Она достигает мин. при x_к= и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении.

Т.е. .

Можно строить интервальные оценки рез-ого признака при заданном x_{к ,} которые определяются как , где - критическое значение распределения Стьюдента, при (n-2) степенями свободы.

На графике доверительные границы для представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии.

Фактические знач. y_k варьируют около ср. знач. на величину случ. ошибки ε, дисперсия кот. оценивается как S² , поэтому ошибка предсказываемого индивид-ого значения y должно включать как станд.ошибку так и случ.ошибку S.

Средняя ошибка прогнозного индив.значения составит . На основе этой оценки м.также строить интервальные оценки, кот. б. содержать заданные доверительной вероятностью, измеряемые значения рез-ого признака.