- •Введение
- •1. Ретроспективный анализ развития научно-технического направления «надежность технических систем»
- •2. Некоторые характеристики случайных величин, событий, процессов в оценках надежности технических систем
- •2.1. Основные понятия, непосредственный подсчет вероятностей.
- •2.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Повторение опытов.
- •3. Основные понятия и количественные характеристики надежности технических систем
- •3.1. Предмет надежности.
- •3.2. Причины недостаточной надежности технических систем.
- •3.3. Цена надежности.
- •3.4. Основные понятия теории надежности.
- •3.5. Основные количественные характеристики надежности и связь между ними.
- •3.6. Характеристики технических систем, используемые в теории надежности.
- •4. Надежность элементов технических систем.
- •4.1. Основные виды отказов элементов технических систем.
- •4.2. Кривая распределения отказов элементов.
- •4.3. Особенности распределения отказов элементов по вине производства.
- •4.4. Законы распределения внезапных отказов элементов.
- •4.5. Законы распределения постепенных отказов (отказов по старению).
- •4.6. Дифференциальный закон распределения времени исправной работы элемента с учетом отказов по вине производства, внезапных отказов и отказов по причине старения.
- •4.7. Расчетно-графическая работа № 1.
- •5. Методы оценки надежности нерезервированных невосстанавливаемых систем.
- •5.1. Сложные технические системы и определение их надежности.
- •5.2. Оценка надежности последовательных систем без накопления нарушений при наличии только внезапных отказов элементов.
- •5.3. Оценка надежности последовательных сложных систем без накопления нарушений с учетом старения (износа) элементов.
- •5.4. Расчетно-графическая работа № 2.
- •6. Определение надежности технических систем при постоянно включенном резерве («горячее» резервирование).
- •6.1. Количественные показатели надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом.
- •6.2. Расчетно-графическая работа № 3.
- •7. Нагрузочное резервирование.
- •7.1. Теоретические предпосылки решения задачи расчета надежности технической системы, резервированной по принципу «теплого» резерва.
- •7.2. Расчетно-графическая работа № 4.
- •8. Вероятность безотказной работы технической системы при резервировании замещением («холодное» резервирование)
- •8.1. Расчетные соотношения для случая резервирования при идеальных переключающих устройствах (коммутаторах)
- •8.2. Влияние переключающих устройств (коммутаторов) на качество резервирования замещением (на качество «холодного» резервирования).
- •8.3. Расчетно-графическая работа № 5
- •9. Логико-вероятностные методы исследования надежности технических систем
- •9.1. Некоторые сведения из основ алгебры логики.
- •9.2. Основные логические операции.
- •9.3. Значимость элемента в системе.
- •10. Надежность технических систем с восстановлением
- •10.1. Оценка надежности технических систем при мгновенном восстановлении устройств
- •10.2. Надежность системы с задержанным восстановлением
- •10.3. Определение надежности сложной восстанавливаемой системы
- •10.4. Практические аспекты исследования надежности восстанавливаемых технических систем
- •10.4.1. Показатели надежности восстанавливаемых нерезервированных систем
- •10.4.2. Показатели надежности резервированных восстанавливаемых систем
- •10.4.3. Вероятность безотказной работы резервированных восстанавливаемых систем
- •Заключение
6. Определение надежности технических систем при постоянно включенном резерве («горячее» резервирование).
6.1. Количественные показатели надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом.
Будем исследовать надежность технической системы, состоящей из одного основного и m резервных устройств, т.е. содержащей m+1 устройство. При этом принимаются следующие допущения:
все устройства (основное и резервные) системы постоянно включены в работу и эксплуатируются в абсолютно одинаковых условиях нагружения;
отказ любого устройства не влияет на работу остальных работоспособных устройств;
отказ системы происходит в момент отказа последнего из (m+1) устройств;
в момент включения системы в работу (t=0) все устройства работоспособны;
все устройства (основное и резервные) абсолютно идентичны по показателям надежности;
отказы устройств представляют собой простейший поток случайных событий;
ремонт рассматриваемой технической системы невозможен.
Принятые допущения почти никогда не реализуются в практике, но они удобны для выводов основных показателей надежности технической системы, резервированной по способу постоянно включенного резерва.
Предполагая, что каждое устройство системы состоит из n элементов, отказы которых являются случайными и независимыми событиями, вероятность pj(t) безотказной работы любого из (m+1) устройства можно принять равной произведению вероятностей безотказной работы его отдельных элементов:
(6.1) где pij(t) –– вероятность безотказной работы i-го элемента j-го устройства в течение времени t; nj –– число элементов в j-м устройстве.
Учитывая принятую гипотезу об идеальности коммутаторов, вероятность отказа QC(t) технической системы будет равна:
(6.2) Если рассматривается система с однотипными устройствами, то все Qj(t) равны между собой и можно принять обозначение:
(6.3) тогда вероятность отказа системы в течение времени t может быть определена выражением:
(6.4) где р(t) –– надежность одного (любого) устройства технической системы.
С учетом (6.1) можно записать:
(6.5) Формулы (6.2)…(6.5) просты и удобны при вычислении различных показателей надежности резервированной системы. Так, если задана надежность р(t) резервирующих устройств (включая основное), то можно найти необходимую кратность резервирования, чтобы обеспечить требуемую надежность Ртр системы в целом:
из неравенства
(6.6) получим
(6.7) Например, для достижения требуемой надежности системы Ртр= 0.99 к заданному моменту времени t при известных значениях надежности одного устройства рj(t) [0.1 , 0.8], число резервных устройств m (при общем их числе m+1) будет соответствовать данным табл. 6.1 и рис. 6.1.
Таблица 6.1.
Требуемая кратность резервирования
pj |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
m (Pтр=0,99) |
43 |
20 |
12 |
8 |
6 |
4 |
3 |
2 |
m (Pтр=0,95) |
27 |
12 |
7 |
5 |
3 |
2 |
1 |
1 |
В свете принятой гипотезы о простейшем потоке отказов, выражение для определения надежности pi(t) i-го элемента, входящего в состав одного из резервирующих устройств технической системы будет иметь вид:
(6.8) где i –– интенсивность отказов i-го элемента устройства.
(6.9) где 0 –– интенсивность отказов устройства (любого)
(6.10) С учетом выражений (6.8)…(6.10) надежность PC(t) и ненадежность QC(t) системы, резервированной по способу «горячего» резерва и состоящей из одного основного и m резервных однотипных устройств могут быть вычислены по формулам:
(6.11)
(6.12) Среднее время ТС безотказной работы системы определим из следующих рассуждений. В общем виде среднее время определяется как математическое ожидание случайной величины, имеющей плотность распределения f(t).
(6.13)
(6.14)
Введем обозначения
и применяем интегрирование по частям
Поскольку убывает при x быстрее, чем возрастает x, следовательно,
(6.15) Окончательно получаем
(6.16) С учетом (6.11), получаем:
(6.17) Введем обозначение:
тогда после дифференцирования получим
откуда
при этом происходит изменение пределов интегрирования. При t=0 zj=0. При t= zj=1, и выражение (6.17) с учетом выкладок Приложения 1 приобретает вид:
(6.18) Далее
(6.19) Подставив пределы интегрирования, получим окончательное выражение для среднего времени безотказной работы системы, при «горячем» резервировании:
(6.20) Частота и интенсивность отказов резервированной системы вычисляется на основе выражений:
(6.21) Используя (6.11), (6.12), получим:
(6.22)
(6.23) Для высоконадежных систем, в случае выполнения условия:
(6.24) допустимо упрощение:
(6.25) Тогда выражения для вычисления основных количественных характеристик надежности резервированной системы с постоянно включенным резервом могут быть записаны в виде:
|
(6.26) |
|
(6.27) |
|
(6.28) |
|
(6.29) |
Рис. 6.2. Изменение надежности системы в зависимости от кратности резервирования m и параметра а=jt
Р ис. 6.3. Зависимость показателя Та=jТС от кратности
резервирования
Подводя итог, можно констатировать:
«горячее» резервирование повышает вероятность безотказной работы системы в сравнении с надежностью нерезервированной системы, причем с увеличением кратности резервирования надежность технической системы повышается;
среднее время безотказной работы резервированной системы с увеличением кратности резервирования растет медленно;
частота отказов резервированной системы вне зависимости от кратности резервирования имеет нулевое значение в начальный момент времени работы системы, имеет максимум и стремится к частоте отказов нерезервированной системы при достаточно больших значениях jt; максимум функции находится в точке ;
интенсивность отказов резервированной системы также равна нулю в момент включения системы в работу и асимптотически приближается к интенсивности отказов нерезервированной системы при больших значениях jt.
Р ис. 6.4. Изменение частоты отказов в течение времени эксплуатации системы при различной кратности резервирования и j=0.015.
Рис. 6.5. Изменение интенсивности отказов системы в течение времени ее эксплуатации при различной кратности резервирования и j=0.015.
Из приведенных выводов становится очевидным, что времена возникновения отказов резервированной системы нельзя отнести к стационарным потокам, хотя времена отказов резервных устройств являются простейшим потоком случайных событий. Это означает, что в общем случае среднее время безотказной работы и интенсивность отказов системы не равны соответственно среднему времени между соседними отказами и средней частоте отказов системы. Поэтому оценивать надежность резервированной системы с помощью среднего времени безотказной работы и интенсивности отказов системы можно только до первого ее отказа. Оценивать надежность резервированных систем длительного использования, работающих в режиме замены отказавших устройств следует на основе вычислений среднего времени между соседними отказами и средней частоты отказов, несмотря на то, что времена отказов резервных устройств удовлетворяют условиям простейшего потока случайных событий.