4.2. Кривая распределения отказов элементов.

Наличие трех независимых групп отказов, каждая из которых имеет свои особенности, определяет вид характерной кривой изменения интенсивности отказов (рис.4.1) и кривой изменения надежности (рис. 4.2).

Рис. 4.1. Типичная кривая изменения интенсивности отказов.

Рис. 4.2. Вероятность безотказной работы (надежность элемента).

Отказы по вине производства проявляются, как правило, на начальном этапе эксплуатации, их интенсивность убывает со временем.

Интенсивность внезапных отказов элементов почти не зависит от времени, т.е. является величиной постоянной.

Отказы по причине старения начинают влиять на надежность элементов технических систем с определенного момента времени.

Иногда с экономической точки зрения целесообразнее допустить некоторую возможность отказов по вине производственных дефектов, чем создавать новую, сложную и дорогую контрольную аппаратуру. В таком случае необходимо искать оптимальное решение.

Аналогичное противоречие имеет место при попытке сокращения внезапных отказов, поскольку это будет связано с разработкой элементов, способных работать в жестких условиях, что, естественно, связано с дополнительными трудностями и затратами.

В конечном счете задача определения необходимого уровня надежности должна быть решена как задача поиска оптимального решения в координатах «эффективность –– стоимость».

В дальнейшем общий поток отказов рассматривается как суперпозиция трех видов отказов без их взаимного влияния.

4.3. Особенности распределения отказов элементов по вине производства.

Отличительной особенностью распределения отказов по технологическим причинам производства элементов технических систем является их убывание по мере увеличения срока эксплуатации системы.

Такому условию в большей степени удовлетворяет распределение Вейбулла, для которого:

плотность распределения

(4.1) где ,

функция распределения (функция отказов или ненадежности)

(4.2) функция надежности

интенсивность отказов:

(4.3)

4.4. Законы распределения внезапных отказов элементов.

Ранее (3.19) было определено, что вероятность исправной работы элемента технической системы в интервале времени (0, t) определяется соотношением:

(4.4) Рассмотрим подробнее характеристику (t). Согласно (3.15):

, (4.5)

(4.6) где f(t) –– плотность распределения времени исправной работы.

Определим:

событие А, состоящее в том, что время T исправной работы (случайная величина) будет не меньше конкретного значения t,

событие В, заключающееся в том, что выход из строя элемента произойдет в момент t  T < t+dt

Согласно теореме умножения вероятностей:

(4.7) откуда

(4.8)

где Р(B/A) –– условная вероятность отказа в интервале (t, t + dt) при условии, что к моменту t устройство было исправно;

(4.9) представляет собой безусловную вероятность отказа на интервале времени (t, t+dt),

Р(A/B)=1 –– вероятность исправной работы элемента в интервале (0, t), при условии, что он вышел из строя в интервале (t, t + dt);

Р(A)=Р(T  t)=P(t) –– безусловная вероятность исправной работы в течение времени (0, t).

Тогда

(4.10) Сравнивая (4.3) и (4.7), имеем:

(4.11) т.е. (t)dt есть вероятность выхода элемента из строя в интервале времени (t, t+dt) при условии, что к моменту t он был исправен. Следовательно, по аналогии с (4.5) функцию (t) можно определить как условную плотность распределения времени отказов элемента.

Опыт эксплуатации и испытаний на надежность технических систем показывает, что внезапные отказы обладают замечательным свойством: интенсивность внезапных отказов элементов практически постоянна на всем этапе их эксплуатации.

(4.12) тогда из (4.4) следует, что при внезапных отказах вероятность исправной работы элемента технической системы будет равна:

(4.13) Соответственно, вероятность выхода из строя элемента и плотность распределения времени исправной работы определяются формулами:

(4.14)

(4.15) Интенсивность отказов имеет размерность, обратную размерности случайной величины, т.е. 1/ время.

В теории надежности часто вместо  используют величину Т_с, представляющую собой ожидаемый интервал времени до первого отказа или среднее время между отказами однотипных элементов (наработка элемента на отказ).

(4.16) Из общей теории вероятностей известно, что математическое ожидание случайной величины (времени непрерывной работы элемента) Т_с и его дисперсия D определяются с учетом того, что случайное время выхода элемента из строя в данном случае изменяется в пределах от 0 до t.

Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону с плотностью:

(4.17) При этом:

(4.18)

(4.19)

Экспоненциальное распределение обладает еще одним свойством: вероятность исправной работы в интервале времени от t до t+, которому предшествует исправная работа в интервале времени (0, t), не зависит от момента t, а зависит только от длины самого интервала (t+)-t=.

Условная вероятность того, что элемент сохраняет свою работоспособность в течение интервала времени (t, t+) при условии, что к моменту t он был работоспособен, определяется по формуле полной вероятности:

, (4.20)

где P(t+) –– вероятность безотказной работы элемента на всем эксплуатационном интервале (0, t+);

P(t) –– вероятность безотказной работы элемента на интервале (0, t).

Тогда:

(4.21)