Тема 4. Физические уравнения связи напряженного и деформированного состояния

4.1. Общая постановка задачи теории омд

Задачей теорией ОМД является определение напряженного и деформированного состояний в любой момент времени в любой точке M (x,y,z) деформированного тела V с ограничивающей поверхностью S. Напряженное состояние описывает . Деформированное состояние будет полностью определено, если будут известны траектории перемещения всех материальных частиц, из которых состоит тело, т.е.

По траектории определим поле скоростей

Затем компоненты (по кинематическим уравнением).

Таким образом, в результате решения задачи ТОМД необходимо определить 15 функций координат и времени:

(1)

Функции (1) удовлетворяют дифференциальным уравнениям движения, из которых в силу небольших ускорений и малости массовых сил в большинстве процессов ОМД вытекают уравнения равновесия:

. (2)

Развернутая запись (2) содержит 3 уравнения.

Функции (1) удовлетворяют условию несжимаемости и кинематическим уравнениям:

(3)

(4)

Развернутая запись (4) содержит 6 уравнений.

Таким образом, располагаем 10-ю уравнениями. Функции (1) содержат 15 неизвестных переменных. Для того, чтобы система стала полной не хватает как минимум 5 уравнений (полная система – это когда сколько неизвестных столько же и уравнений).

Лучше, чтобы уравнений было не 5, а 6. Одно «лишнее» можно использовать для проверки и корректировки получаемых решений.

Недостающие уравнения – это физические уравнения связи напряженного и деформированного состояния. Формулировка физических уравнений связи осуществляется путем экспериментального изучения механических свойств деформируемых металлов. При этом используют достижения механики, физики, математики. Их построение производят с учетом трудностей решения сложных уравнений теории пластической деформации.

Механические свойства – это прочностные и пластические характеристики.

4.2. Формулировка физических уравнений для изотропных металлов

Материал называется изотропным, если его механические свойства одинаковы во всех направлениях. Если же механические свойства материала зависят от направления, то такой материал называется анизотропным.

Металлы состоят из кристаллов. Количество атомов на единицу длины в различных направлениях кристалла разное. Поэтому у кристаллов проявляется анизотропия механических свойств. Заготовка из металла, подвергающаяся пластической деформации, состоит из множества мелких зерен (кристаллов). Они ориентированы различно. Поэтому механические свойства мелкозернистых изделий примерно одинаковы в различных направлениях (статистически усреднены). Такие металлы являются изотропными.

Это гипотеза об изотропии.

Из допущения об изотопии вытекает важная гипотеза о коаксиальности тензоров и . Рассмотрим элементарный объем, мысленно выделенный в окрестности точки деформируемого тела так, что по граням элемента действуют только главные нормальные напряжения.

Рис.1. Действующие на частицу главные напряжения и скорости деформации

Так как действуют по граням только нормальные напряжения, то прямые углы элемента искажаться не будут. Отсюда следует, что направления главных нормальных напряжений и главных скоростей удлинений совпадают. Это и есть гипотеза коаксиальности и .

Специальные опыты показывают, что с достаточной степенью точности имеет место пропорциональность компонентов девиаторов напряжений и скорости деформации. Это положение называют гипотезой пропорциональности девиаторов напряжений и скорости деформации.

, (1)

где - скалярный коэффициент; - компоненты девиатора напряжений ; - компоненты девиатора скорости деформации .

Если девиаторы определены в системе координат, совпадающей с главными осями тензоров напряжений и скоростей деформаций, то:

;

.

В декартовой системе координат x,y,z гипотеза пропорциональности:

. (2)

Это и есть физические уравнения связи напряженного и деформированного состояний. С учетом условия несжимаемости ( ) физические уравнения упростятся:

. (3)

Развернутая запись (2) содержит 6 уравнений. Примеры развернутой записи:

,

.

Величина может быть выражена через известные инварианты и .

; ;

; .

.

. (4)

В выражении (3) в общем случае (при горячей деформации)

. (5)

Функция (4) определятся для каждого металла опытным путем.

Итак, физические уравнения связи сформулированы в достаточном количестве.