5. Кольцо целых чисел. Отношение делимости. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Основная теорема арифметики.

Кольцо целых чисел.

N-множество натур. чисел(1,2,3…). Z-множество цел. чисел(…-1,0,1…).Целое число a делится нацело на b≠0, если  такое qZ, что выполняется a=bq, q-частное, b-делитель, a-делимое.

Свойство отношений делимости. 1. Отношение делимости почти рефлексивно (aZ)(a≠0)(aa). 2. Отношение делимости транзитивно. (ab)(bc)(ac). Д-во: т.к ab qZ, a=bq; bc tZ, b=ct; a=(ct)q=c(tq), tqN ac. 3. Отношение делимости сохраняется при изменение знаков делимого и делителя. ab(-ab)a(-b) (-a)(-b). 4. Если acbc(a±b)c. Д-во: ac qZ, a=cq; bc tZ, b=ct; a±b=cq±ct=c(q±t), (q±t)N. 5. Если acbZ, то abc. 6. Если acbнеc(a±b)неc. Д-во:метод от противного. Представим (a+b)c, тогда qZ, что (a+b)=cq, по условию actZ, что a=ct, ct+b=cq, b=cq-ct=c(q-t), (q-t)Nbc.Пришли к противоречию,bнеc.7. 0 делится на  число b. 8.  число a1. 9. Если а≠0, то не такого целого числа q, что 0q=а. Это свойство исключает деление числа на 0. 0q=0, qZ, поэтому 00 неопределенно однозначно, деление на 0 невозможно. 10. aba≠0|a|>=|b|.Д-во: Пусть abqZ, что a=bq, т.к a≠0, то q≠0 |a|=|bq|, то |q|>=1 |a|=|b||q|1) |q|=1, тогда |a|=|b|, 2) |q|>1, тогда |a|>|b|.

Простые и составные числа. Натур. число p наз-ся простым, если оно >1 и не имеет положительных делителей отличных от 1 и p. Натур. число n наз-ся составным, если оно >1, и имеет по крайней мере 1 положит. делитель отличный от 1 и n. Если n-составное число, то N, что n=n1, 1<n1<n, 1<<n. 1 не явл-ся ни простым, ни составным числом. Среди прост-х чисел  1 четное простое число, остальные нечетные. Множ-во всех N чисел можно разбить: простые, составные, число 1. Основной теоремой арифметики явл-ся теорема, которая гласит: что  состав-е число единст. образом расклад-ся на сомножители. Св-ва прстых чисел: Т1: Если простое число pn, где nN, n≠1, то p=n. Д-во: МОП. Пусть p≠n, p-простое числоp1ppp≠nn=1, а по усл. n≠1. Пришли к противоречию. Т2: Если p1, p2 различные простые числа, то p2 не делится на p1. Т3: Всякое nN, n>1 делится на какое-либо простое число. Т4: Если nN, а p-простое число, то либо np(n,p)=1. Т5: Если произ-е 2-х или нескольких N чисел делится нацело на простое число p, то хотя бы 1 из сомнож-й делится нацело на p. T6: Если nN-составное, а p-его найм. простой делитель, то pn. Д-во: Т.к n-составное число, а p-наим. простой делитель pn, pn1. Умножим левую и правую части неравенства на равные числа на pn1 и n. p²n1n1n, откуда p²n pn.Следствие: если n не делится нацело ни на одна простое число не превосход-го n, то n-простое число, в противном случае составное. Основная теорема арифметики. Если nN, n>1, то оно либо просто, либо может быть представлена и притом единст. образом в виде произведения простых чисел. Д-во: 1)Докажем  разложения числа на простые сомножители. Метод мат. индукции. а)пусть n=2, n-простое число. б)пусть утвер-е теоремы справедливо для  N чисел 2N<n. Расмот-м nN. 2случая:1.n-простое число. 2.n-составное число, n=n1n2, где 1<n1<n, 1<n2<n, по предположению теорема справедлива. n1=p1p2…pi, n2=p_i+1p_i+2…p_k. n=p1p…pi…pk(1). Это доказывает предположение. 2)Единственность: МОП: пусть представление(1) не единственно. ММИ: а). n=2, n-простое число б)пусть теорема верна для  N чисел 2N<n. Расмот-м nN. 2случая:1.n-простое число. 2.n-составное число, n=n1n2, где 1<n1<n, 1<n2<n, для чисел n1 и n2 разлож-е на простые сомнож-и един-о. Пусть n можно представить: n=p1p2…pk, n=q1q2…qs p1p2…pk=q1q2…qs(2). Левая часть делится на p1, значит и правая делится на p1, т.к. q1,q2,…qs-явл-ся простыми числами, то деление на p1 возможно в том случае когда 1 из сомножителей =p1, p1=q1. (p2…pk)<n=(q2…qs)<n(3). По индукции из рав-а (3) следует k=s. Произведение p2…pk и q2…qs отлич-ся лишь порядком расположения сомножителей. Т.о. перенумеровав в соотв-м порядке, получим: p2=q2, p3=q3…pk=qs. Т.о. мы получли , что разложение числа n на простые сомножители ед-о. Бесконечность мн-ва простых чисел. Теорема Евклида: Мн-во простых чисел бесконечно. Д-во: МОП: пусть множество простых чисел конечно: p1=2, p2=3, p3=5,…pk. pk-наиб. простое число, составим произведение: p1p2…pk. Расмот-м nN, n=p1p2…p_k+1, т.к. n>pk, то n-составное число, тогда оно должно делится на простое число, а т.к. простые числа образ-т мн-во { p1,p2,…pk }, то n делится хотя бы на 1 из этих чисел. Пусть np1, т.к. n=p1p2…p_k+1p1, то1p1>1, а этого быть не может. Мн-во простых чисел бесконечно. Теорема: Об интервалах.  интервалы, не имеющие ни одного простого числа. Д-во: Возьмем nN и составим послед-ть чисел: (n+1)!+2, (n+1)!+3, (n+1)!+4, (n+1)!+(n+1). (n+1)!+22, (n+1)!+33, (n+1)!+44, (n+1)!+(n+1)(n+1),  все эти n чисел составные. Решето Эратосфена: Суть: Выписыв-ся все числа, затем вычерк-м 1, затем все числа кратные 2, кроме 2. Вычеркиваются до тех пор, пока не получили бы n. Схема решета Эратосфена: Каждое число кратное ps следующее за ps необходимо вычеркнуть, дойдя до невычеркнутого простого числа n следует остан-ся, поскольку все невычеркнутые числа явл-ся простыми.