16. Достаточные условия существования экстремума

Пусть в стаци­онарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция f(x;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю­чительно. Вычислим в точке (х₀;у₀) значения А=f"_хx(хо;уо), В= (Xо;Уо), С= (х₀;у₀).

Обозначим =AC-

Тогда:

1. если >0, то функция f(x;у) в точке (Xо;Yо) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если <0, то функция f(x;у) в точке (Xо;Yо) экстремума не имеет. В случае =0 экстремум в точке (Xо;Yо) может быть, может не быть.

1.Исследование функции на монотонность

Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на интервале (а,в),если для х1,х2 (а,в) из неравенства х1<х2 следует f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)). При этом функция f возрастает (убывает), если f(x1) f(x2) (f(x1) f(x2)) при х1<x2 на (а,в). Возрастающие или убывающие на интервале (а,в) функции называются монотонными на этом интервале.

36.Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в симметрической форме М(х)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,где M,N,P,Q – интервалы в a<x<b, c<y<d. Общий интеграл: если Р(х) , N(y) 0. Если N(y)=0, c<y<d, то y=y’ – решение, не входящее в общий интеграл. Если P(x1)=0, a<x1<b, то х=х1- решение.

11. Дифференцируемость ф.М.П. Примеры применения частных производных в экономике.

Функция f(x, y) дифференцируема в точке (x0, y0) (или сокращенно ), если справедливо равенство:

(1) f(x, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) +0(p) где - некоторые константы, а

Зафиксируем одну из переменных, например: y=y0. Тогда f(x0, y0) будет функцией от x и равенство (1) примет вид: f(x0, y)=f(x0, y0) + A(x - x0) + B(y - y0) + o(x - x0). Следовательно, число A есть производная функции f(x0, y) в точке x=x0. Эта производная обозначается так: и называется частной производной f(x, y) по x в точке (x0, y0). Аналогично: Таким образом условие дифференцируемости функции f(x, y) в точке (x0, y0) можно представить в виде:

f(x, y)=f(x0, y0) + +0(p). В экономических исследованиях часто используется производственная функция Кобба-Дугласа , где z - величина общественного продукта, x - затраты труда, y - объем производственных фондов (обычно z и y измеряются в стоимостных единицах, x - в человеко-часах); A, a, b - постоянные.

Применение в экономическом анализе. Базовой задач экон анализа явл изучение связей эконом величин, записан в виде функй.

В экон-ке очень часто требуется найти наил или оптим значение показателя: наив производ-ть труда, макс прибыль, макс выпуск, мин издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функ от одного или неск-х аргументов.