1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых вариантов.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

Теорема: F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C. Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

Таблица неопределённых интегралов

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1		-lncosx+C	9		e^x + C
2		lnsinx+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin + C
7			15
8			16

2. Замена переменной в неопределенном интеграле.

1) Внесение под знак диф-ла:

∫f(U(a))*U’(x)dx =∫f(U)dU = {интегрируем по U} = F(U) + C = F(U(x)) + C

2) Вынесение из-под знака диф-ла:

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

3.Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с свойствами неопределенного интеграла:

или ! ; {при условии, VdU проще чем UdV}

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

4. Разложение прав. Рац. Дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. Дробей.

Определение: Рац. дробью называется ф-ция:

f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва.

P(x) = b₀+b₁x+…+b_mx^m

Q(x) = a₀+a₁x+…+a_nxⁿ

Если m<n f(x) – правильная дробь

m>=n – неправильная дробь

Теорема: Пусть знаменатель Q(x) прав. рац. дробь P(x)/Q(x) имеет действ. корень х=а кратности К, сущ. const A ≠ 0, такая, что справедливо равенство:

P(x)/Q(x) = P(x)/((х-а)^кQ₁(x)) = (А/(х-а)^к) + (P₁(x)/((х-а)^к-1Q₁(x))), при Q₁(а) ≠ 0

Док-во: Составим разность: (P(x)/((х-а)^кQ₁(x)) – (А/(х-а)^к ) = (P(x) – А*Q₁(х)) / ((х-а)^кQ₁(x)) = | A выбираем так, чтобы х=а было корень числ.| = P(a) – Aa₁(a) = 0

A = P(a)/ Q₁(x),

(P(x) – А*Q₁(х)) / ((х-а)^кQ₁(x)) = (a-x)*P₁(x) / (a-x)*Q₁(x)

Теорема: Пусть знаменатель Q(x) паравільная рац. дробь, P(x)/Q(x) имеет пару комплекс. корней кратности K, кот. соответствуют (х²+px+q) разложению Q(x), тогда сущ. const A и В, что справедливо разложение P(x)/Q(x) = P(x) / (х²+px+q)²*Q₁(x) = (Ах+В) / (х²+px+q)² +

P₁(x) / (х²+px+q)²*Q₁(x).

теоремы разложения следует: всякую прав. рац. дробь можно разложить в сумму простейших рац. дробей типа I – IV и это разложение единственное.

4-5.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Определение: Рац. дробью называется ф-ция:

f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) – взаимно пропорциональные мн-ва

Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. III.

II. IV.

m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b² – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

1. 

II.

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

IV. ∫(Ax+B)/(x²+px+q)^k*dx = |x+p/2 = t; dx=dt; q-p²/4 = ±m²| =A*∫(d(t²+a²))/2(t²+a²)^k + (B-Ap/2)*∫(dt/(t²+a²)^k = (A/2)*(1/(1-k))*(1/( t²+a²)^k+1) + (B-Ap/2)J_k

6