15Виды средних. Правило их исчисления.

Средняя величина - обобщающая характеристика совокупности однотипных явлений по какому-либо количественному варьирующему признаку. Все средние делятся на 2 больших класса: 1) Степенные средние. Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. 2)Структурные средние. Определяются лишь структурой распределения.

Степенные средние делятся на:

1. Средняя арифметическая

2. Средняя гармоническая

3. Средняя хронологическая

Структурные средние:

1. Мода

2. Медиана

Общая формула степенной средней: X̄ = ^m√(𝞢Xi^m/n). Значение показателя средней величины m определяет вид средней величины.

При m=1, X̅ = ∑ Хi / n

m = 2, X̅ = √∑ Хi ^2 / n

m = -1 X̅ = n/ ∑(1/ Хi) – среднее гармоническое

m = q X̅ = q√∏ Хi – среднее геометрическое (∏ – знак произведения коэфф.)

Из степенных средних чаще всего применяется среднее арифметическое, реже среднее гармоническое, среднее геометрическое только при расчете темпов роста динамических рядов. Среднее квадратическое – только при расчете показателей вариации. Среднее кубическое почти не применяется.

Имеются следующие соотношения.

X̅ квад. > X̅ ариф. > X̅ геом. > X̅ гарм. (правило мажоратности (старшинства))

Чем больше показатель степени, тем больше величина, соответствующая средней.

Среднее арифметическое

Оно применяется, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц. Оно может быть: простое и взвешенное.

Простое среднее арифметическое применяется, когда усредняемые признаки не повторяются или повторяются одинаковое число раз.

Среднее арифметическое взвешенное применяется, когда значения усредняемого признака Хi повторяются, т.е. когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок. В этом случае вводится понятие «частота».

X̅ = ∑ Хifi/ ∑fi

Разновидностью средней арифметической является средняя хронологическая, которая используется для моментного ряда.

X̅ хр = (0,5Х1+Х2+…+Хn+0,5Хn)/(n–1)

Средняя гармоническая величина – это обратная к средней арифметической из обратных значений признака. Применяется, когда в исходных данных веса fi не заданы непосредственно, а входят сомножителями в одни из имеющихся показатели.

X̅ гар = n/ ∑(1/ Хi) – простая

X̅ гар = ∑ Хifi/ ∑ (Хifi/ fi) или ∑Mi/ ∑ (Mi/Xi) – взвешенная

Средняя квадратическая простая является корнем из частного отделения суммы квадратов отдельных значений признаков на их число

X̅кв = √(∑Xi^2/n)

Средняя квадратическая взвешенная:

X̅кв = √(∑Xi^2 fi / ∑fi )

СК широко применяется для определения вариации признаков (колебания) от их средней величины при расчете дисперсии от среднего квадратического отклонения.

Средняя геометрическая применяется в случаях, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков. Этот вид средней используется для вычисления средних темпов изменения в рядах динамики.

Структурные средние.

Мода – это такое значение варианта, которое чаще всего повторяется в ряду распределения. Способ вычисления моды зависит от вида статистического ряда.

Для атрибутивного или дискретного ряда моду определяют визуально без расчетов по значению варианта с наибольшей частотой.

Например: на вопрос «как вы оцениваете свое благосостояние?» по 4 оценкам: хорошо, удовл, неудовл, нестерпимо. Большинство ответило хорошо, это и есть мода.

Модальная цена на рынке та, которая встречается чаще всего.

В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал (с наибольшей частотой) и значение моды в середине интервала рассчитывается по формуле:

______________________________

Медианой называют вариант, который делит ранжированный ряд на 2 равные по объему части.

Медиана для дискретного ряда с нечетным числом вариант – это конкретное численное значение в середине ряда.

Например: в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14го

Медиана для дискретного ряда с четным числом вариант будет средняя арифметическая и значение признака у 2 средних членов ряда.