3.7.3. Предельная (финальная) вероятность состояний.

Рассмотрим некоторую систему: S: S₁, S₂, … Sn. Найдём Pi(t)-?, где Pi(t)=1 (1)

t – текущее.

Устремим t , т.е. рассмотрим ф-е системы на достаточно большом интервале времени. В теории доказывается следующее: Если число состояний системы конечно и возможен переход в каждое из них из любого другого за конечное число шагов, то в системе  предельные вероятности, кот не зав от начального состояния системы.

Условно считаем, что те ограничения, кот в утверждении, имеют место. Тогда существует предел:

- не зав от времени.

Для предельных вер-тей также соблюдается нормировочное условие: Pi(t)=1 (3).

Физ смысл этих предельных вероятностей:

Пример: разгон автомобиля, подъём самолёта.

По истечении длительного времени устанавливается нек стационарный режим, хотя сам процесс не стационарен, где система случайным образом меняет состояние, вер-ть каждого из которых есть величина постоянная. И физ смысл сводится к среднему относительному времени пребывания системы в том или ином состоянии.

] рассматривается работа ВМ, кот имеет 4 сост-я: S1-работает; S2-неисправна; S3-неисправности устраняются; S4-готовится к пуску.

Известны пред вер-ти: P1=0.45, P2=0.15, P3=0.25, P4=0.15.

Они позволяют оценить эф-ть работы системы и не только. Как их получить? По тому же принципу, т.е. с пом ур-й Колмогорова, но в первой части будет 0, т.к. производная от пост вел-ны =0. И получаются обычные алгебраич ур-я.

3.7.4. Типовые мсп.

1) Процесс «размножения и гибели».

S: S1, S2, … Sn – конечное число сост-й.

СП получили название «размножения и гибели», если они имеют граф состояний в виде цепочки, в кот каждое из средних состояний (S2, … Sn-1) связано обратной и прямой связью с каждым из соседних состояний, и крайние (S1 и Sn) связаны лишь с одним из соседних состояний.

Можно привести несколько примеров: система сост из 3-х блоков, каждый из кот может выходить из строя и сразу начинает восстанавливаться:

0,1,2,3 – число неисправных блоков.

Удобно воспользоваться конечными формулами.

В рез-те расчётов получим:

Обозначим дробь за А. Нам нужно найти P1. Воспользуемся нормировочным соотношением:

Обозначим дробь за В. Тогда получим выр-е для Р1:

2) Циклические процессы.

Процессы явл циклическими, если они м.б. представлены в виде графа с последовательными состояниями и односторонними переходами (замкнутое кольцо с односторонними переходами):

Здесь исп аналогичное норм соотн-е: Pi=1 (12)

В результате расчётов получим:

Обозначим . Физ смысл: среднее время пребывания системы в сост-и Si.

Тогда можно объединить (13) и (14):

3.7.5. Примеры применения мсп к исследованию систем.

При решении задач любых сложных систем очень широко исп аппарат МСП. Это объясняется: 1) его простотой (это или сист обыкн лин диф ур-й или обыч лин ур-й); 2) при исследовании сложных систем наряду с необходимостью определения обобщённых целевых ф-й возникает необх-ть определения достаточно большого кол-ва частных показателей, таких как определение среднего времени передачи И-и, ср времени формирования управляющего воздействия, ср времени первичной обработки сигналов и многое другое.

Многие усреднённые хар-ки опред-ся для объед-я подсистем в системы. В планировании гибких производств без этого аппарата никуда.

Послед-ть действий при исследовании систем по схеме МСП:

1. выделение всех физ состояний системы (неоднозначно и определяется особенностями решаемой задачи)

2. составление графа состояний системы

3. получение размеченного графа (интенсивности сразу не даны как правило  трудно)

4. составление ур-й Колмогорова

5. задание нач условий

6. Решение.

Пример 1: локальная система обработки детали на станке. Она нах на складе. Её нужно доставить к раб месту, обработать и возвратить инструмент в отдел укомплектования.

4 сост-я:

(i) – т.е. эта система справедлива для любого инструмента или любой детали. Если этот процесс протяжённый, то можем воспользоваться предельными вероятностями.

Пример 2: МСП исп также во всём, что связано с наведением на цель: организация головки самонаведения. Сост-я:

Здесь Pi – ф-и времени.

Эти задачи решаются на этапе отладки головки самонаведения на спец макетах.

Пример 3: Исследование микропроцессорных систем. Требуется исследовать влияние параметров программ на хар-ки обмена в микропроцессорных системах с общей магистралью. Рассмотрим простейший случай: 2-х процессорную систему:

Каждый процеесор может нах в фазе автономной работы. Сост-я: S0 – фаза автономной работы; S1 – обмен; S2 – ожидание. Для каждого из процеесоров фаза автономной работы имеет показательный закон с интенсивностями i: . Фаза обмена также имеет показательный закон с интенсивностями i: .

В конечном итоге нас интересуют вопросы исследования зависимости коэффициента загрузки магистрали -? и коэф-ты удлинения программ i-? для данной структуры в зав от временных хар-к программ.

1) выделяем состояния: S1(0,0); S2(1,0); S3(0,1); S4(1,2); S5(2,1)

2), 3) строим граф:

4) определим  и i. Для этого определим пред вероятности P(0,0) …

Тогда =1-P(0,0)