3.7. Задача о производстве красок

Фабрика выпускает два вида красок: для внутренних работ (В) и наружных работ (Н).

Для производства красок используются два исходных продукта Р1 и Р2. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов, расходы на 1 т соответствующих красок и оптовые цены одной тонны приведены в табл. 37.

Таблица 37 Исходный продукт	Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски		Максимально возможный запас, в тоннах
	Краска В	Краска Н
Р1	1	2	6
Р2	2	1	8
Оптовая цена за одну тонну	2000 руб.	3000 руб.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску Н никогда не превышает спроса на краску В более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску Н никогда не превышает 2 т в сутки.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение включает три этапа, описанные в пп. 3.2-3.6.

1. Построение математической модели

1. Определение целевой функции

Обозначим Х_В - суточный объем производства краски В;

Х_Н - суточный объем производства краски Н.

Целевой функцией будет суммарная суточная прибыль от производства красок:

Z=2000•Х_В + 3000 -Х_Н (1)

2. Определение ограничений на переменные

На переменные Х_В и Х_Н накладывается три вида ограничений.

а) Ограничение по физическому смыслу задачи - объём производства красок не может быть отрицательным. Следовательно,

Х_В > 0

^В (2) [Хм > 0

б) Ограничение по ресурсам. Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта. Таким образом,

^{Для р}1 Г ^Х_в + ² ■ ^Хм < ⁶ (3)

Для Р₁ [2 ■ Х_в + 2 ■ Х_м < 8

в) Ограничения на величину спроса краски имеют вид:

Г Хм — Х в < 1 ^{м в} (4)

Хм < 2

Итак целью фабрики является определение среди множества допустимых значений Х_Н и Х_В таких, которые обеспечат максимальное значение целевой функции (1) при выполнении ограничений (2) - (4).

2. Построение начального плана решения

Создадим электронную таблицу для реализации решения (табл.38 - ЭТ в режиме показа формул, табл.39 - ЭТ в режиме показа вычислений). В ячейкахА3:В4 размещен начальный план выпуска красок. Поскольку сразу определить оптимальный план выпуска не удастся, считаем, что начальные объёмы производства красок равны нулю

Таблица 38	A	B
1	Оптимизация производства красок
2	Переменные
3	Х1	Х2
4	0	0
5	Целевая функция
6	=3000*А4+2000*В4
7	Ограничения
8	Левая часть	Правая часть
9	=А4+2*С4	6
10	=2*А4+С4	8
11	=СА-В4	1
12	=С4	2

Таблица 39	A	B
	Оптимизация производства
1	красок
2	Переменные
3	Х1	Х2
4	0	0
5	Целевая функция
6	0
7	Ограничения
8	Левая часть	Правая часть
9	0	6
10	0	8
11	0	1
12	0	2

Строки 5 и 6 отведены для вычисления целевой функции.

В ячейках А9:А12 вычисляются левые части ограничений (2) - (4) для текущего объёма производства красок, а в ячейках В9:В12 находятся правые части этих ограничений.

3. Оптимизация плана решения

1. Запускаем средство Поиск решения (Сервис - Поиск решения).

2. Установим в окне Поиск решения параметры, показанные на рис. 12

3. Щелкнем по кнопке Выполнить. Результат приведен в табл. 40.

Рис. 12

Таблица 40	A	B
1	Оптимизация производства красок
2	Переменные
3	Х1	Х2
4	3,33333333	1,33333333
5	Целевая функция
6	12666,66667
7	Ограничения
8	Левая часть	Правая часть
9	6	6
10	8	8
11	-2	1
12	1,3333333	2