4.17 Модели регрессии с лаговыми переменными

Под лагом понимают промежуток времени, за который изменение аргумента приведёт к изменению результативного показателя (временной лаг). Кроме временного лага в регрессионных моделях различают лаг запаздывания, то есть лаг, распределённый во времени. Наличие запаздывания означает, что влияние переменной X на переменную Y не проявляется немедленно, а растягивается на какой-то промежуток времени. В экономических моделях подлежат учёту лаги, например, между научным открытием и его внедрением, вложениями капитала и вводом объекта в действие и другие.

Модели регрессии с лаговыми переменными относятся к моделям авторегрессии –

скользящего среднего (АРСС). Их можно подразделить на 3 группы:

1.Модели с лаговыми объясняющими переменными, то есть модели с распределенными лагами;

2.Модели с лаговыми зависимыми переменными – модели авторегрессии;

3.Модели с лаговыми зависимыми и независимыми переменными, то есть авторегрессионные модели с распределенными лагами.

Центральным вопросом при построении моделей с лаговыми переменными является выбор величины лага и числа лаговых переменных. Теоретически трудно обосновать величину лага. Определённую помощь может оказать взаимная корреляционная функция, то есть рассчитать множество коэффициентов корреляции между уровнями временных рядов Yt и Xt, сдвинутыми относительно друг друга на последовательно увеличивающий интервал времени. Величина лага определяется по максимальному значению коэффициента корреляции. Выбор величины лага и количества проводится экспериментально: путем построения модели с разной величиной лагов, а остальные - на этой модели, при которой все параметры модели статистически значимы.

Применение модели распространено на случай нестационарных рядов, характеризующихся наличием полиномиального тренда. Модели АРСС часто называют моделями Бокса – Дженкинса.

Оценка моделей с лаговыми зависимыми переменными производится с помощью трёхшагового метода наименьших квадратов и метода инструментальных переменных. Сущность последнего метода заключается в том, чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки метода наименьших квадратов, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок.

4.18 Линейные модели временных рядов

Линейные модели временных рядов – это модели адаптивные, то есть

самокорректирующиеся, самонастраивающиеся, способные отражать изменяющиеся во времени условия, учитывать информационную ценность различных членов временной последовательности и давать оценки будущих членов исследуемого ряда. Данные модели предназначаются, прежде всего, для краткосрочного прогнозирования, а также для анализа на выборке долгосрочных тенденций. Адаптивные модели в каждый момент времени отражают локальные свойства временного ряда и способны непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, описываемых временными рядами.

В узком смысле под адаптивными моделями в статистике принято понимать модели, процедура корректировки которых основывается на использовании рекуррентной формулы экспоненциально-взвешенной скользящей средней. Модификации и обобщения простейшей модели экспоненциального сглаживания привели к появлению целого семейства адаптивных моделей с различными свойствами. В основе процедуры адаптации лежит обратная связь, реализуемая методом проб и ошибок (модель Брауна обобщенная, модель авторегрессии – скользящего среднего, Фильтр, Фильтр Кальмана и другие).

Например, обобщённая модель Брауна представляет собой временной ряд в виде взвешенной суммы некоторых известных, выбранных заранее детерминированных функций от времени, и наложенной аддитивной независимой случайной составляющей с математическим ожиданием, равным нулю, и постоянной дисперсией. Р.Г. Браун разработал рекурсивную процедуру адаптации коэффициентов (весов) модели при каждом получении новой фактической точки ряда для случая, когда функциями, входящими в модель, являются полиномы, экспоненты и синусоиды или их произведения.