- •1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2 Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •3 Однородные дифференциальные уравнения
- •4 Уравнения в полных дифференциалах
- •5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •6 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений
- •10 Системы дифференциальных уравнений
- •11 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
2 Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными называется уравнение вида
f1(y)dy = f2(x)dx, (2.1)
которое записано в дифференциальной форме. Здесь f1(y), f2(x) – известные непрерывные функции своих аргументов. Переменные х и у разделены, поскольку в уравнении (2.1) левая часть содержит лишь переменную у и её дифференциал, а правая часть – только переменную х и её дифференциал.
Соотношение вида
(2.2)
является общим интегралом дифференциального уравнения с разделёнными переменными.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение. Так как переменные разделены, то
Найдя интегралы, имеем
или .
Тогда у = ( – 0,5cos x + 0,5C)2.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
f1(x)q1(y)dy = f2(x)q2(y)dx. (2.3)
С помощью деления на f1(x)q2(y) ≠ 0 уравнение (2.3) приводится к виду , интегрируя которое находим общий интеграл дифференциального уравнения «в квадратурах»
. (2.4)
Отметим, что при делении возможна потеря частных решений.
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение. Учитывая, что , имеем , откуда . Интегрируя это равенство, получим следующее:
Тогда . Надо добавить ещё потерянное при делении решение у = 0.
3 Однородные дифференциальные уравнения
Функция f(x, y) называется однородной функцией нулевой степени, если для любого t ≠ 0 выполняется равенство
f(tx, ty) = f(x,y). (3.1)
Уравнение (1.2) называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если f(x, y) есть однородная функция нулевой степени.
Тогда уравнение (1.2) можно привести к виду
. (3.2)
Решение таких уравнений осуществляется с помощью замены переменной
, (3.3)
где u – новая функция переменной х.
Дифференцируя выражение y = ux, получаем .
Подставляя y = ux и в (3.2), получаем:
,
где Ф(u) = φ(u) – u. Переменные разделяются:
.
Общее решение «в квадратурах» выглядит следующим образом:
,
где С – произвольная постоянная (С > 0).
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
.
Решение. Уравнение является однородным, так как в правой части равенства стоит функция переменной . С помощью замены (3.3) уравнение принимает вид . Преобразуя и разделяя переменные, получаем .
Проинтегрируем левую часть последнего равенства:
.
Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получаем
= + ln С1 (С1 > 0).
Учитывая, что , окончательно имеем
= .
Получено решение в неявном виде.