6 Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка представляет собой

F(x, y, y′, y′′) = 0, (6.1)

где F – известная функция четырёх переменных, т.е. соотношение, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию y = y(x), её первую и вторую производные. Уравнение второго порядка обязательно должно содержать вторую производную неизвестной функции.

Более простым для изучения является частный случай уравнения (6.1), т.е. уравнение вида

y′′ = f(x, y, y′). (6.2)

Уравнение (6.2) называется уравнением, разрешённым относительно производной высшего порядка у′′, где f – конкретная функция трёх переменных.

Дифференциальное уравнение второго порядка так же, как и уравнение первого порядка, имеет бесконечное множество решений. Поясним это на примере дифференциального уравнения второго порядка

y′′ = f(x),

где f(x) – известная непрерывная функция на некотором промежутке. Для нахождения неизвестной функции у(x) надо последовательно два раза взять неопределённые интегралы:

,

,

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, F₁(x) – какая-то одна первообразная функции f(x), а F₂(x) – некоторая из первообразных функции F₁(x). Придавая в последнем равенстве постоянным С₁ и С₂ независимо друг от друга различные числовые значения, будем получать отдельные решения этого простейшего уравнения.

Рассмотрим ещё более конкретный пример, а именно уравнение y′′ = 2x. Интегрируя его последовательно два раза, получаем следующее:

,

.

Решение последнего вида будем называть общим решением или общим интегралом. Каждое отдельное решение (при конкретных постоянных С₁ и С₂) называется частным решением. Всякое частное решение изображается на плоскости кривой, которую называют интегральной. Общее решение даёт семейство интегральных кривых на плоскости.

В общем случае решения уравнения вида (6.1) или (6.2) можно записать в виде

y = y(x, C₁, C₂), (6.3)

или

Ф(x, y, C₁, C₂) = 0. (6.4)

Общее выражение решений дифференциального уравнения второго порядка, записанное в виде (6.3) или (6.4), в которое входят две не зависящие друг от друга произвольные постоянные С₁ и С₂, называется общим решением или общим интегралом дифференциального уравнения. При этом общее решение, полученное в виде (6.3), называется явным. Вид же (6.4), где Ф – некоторая конкретная функция четырёх переменных, называется неявным видом решения.

В конкретных прикладных задачах (геометрических, физических, технических, экономических и т.д.) постоянные С₁ и С₂ должны определиться, т.к. обычно ответ должен быть один. Так как общее решение содержит две произвольные постоянные, то для его нахождения, кроме дифференциального уравнения, нужно иметь два дополнительных условия. При этом различают краевые задачи и задачи с начальными условиями.

Условия

у(х₀) = у₀₀, у′(х₀) = у₀₁, (6.5)

где х₀ – некоторая фиксированная точка промежутка, на котором рассматривается дифференциальное уравнение, а у₀₀, у₀₁ – заданные числа, называются начальными условиями для уравнения второго порядка.

Задача нахождения решения уравнения (6.1) или (6.2) при выполнении условий (6.5) называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Всякое решение уравнения второго порядка при условиях (6.5) называется частным решением, а график частного решения – интегральной кривой.

Возникает вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши. Сформулируем теорему, ограничившись случаем уравнения (6.2).

Пусть правая часть f(x, y, y′) уравнения (6.2) как функция трёх переменных x, y, y′ удовлетворяет следующим двум условиям:

1) непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x₀, y₀₀, y₀₁), являющуюся внутренней для D;

2) имеет непрерывные частные производные по аргументам у и у′ в области D.

Тогда найдётся такое положительное число δ, что на отрезке [x₀ – δ, x₀ + δ] из промежутка, на котором рассматривается уравнение (6.2), решение задачи (6.2), (6.5) существует и единственно.

Допустимыми начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка назовём те тройки чисел х₀, у₀₀ и у₀₁, для которых существует единственное решение задачи Коши.

Теперь дадим более «точное» определение общего решения дифференциального уравнения второго порядка.

Дважды непрерывно дифференцируемая функция вида (6.3), содержащая две произвольные постоянные, называется общим решением (общим интегралом) уравнения (6.1) или (6.2), если выполняются следующие два условия:

1) при фиксированных С₁ и С₂ эта функция является решением соответствующего уравнения;

2) каковы бы ни были начальные условия (6.5), найдутся такие конкретные числа С₁ и С₂, что функция (6.3) будет удовлетворять этим условиям.

Таким образом, из формулы общего решения в виде (6.3) или (6.4) при конкретном подборе числовых значений постоянных С₁ и С₂ должно получиться единственное решение, определяемое допустимыми начальными условиями (6.5).

Покажем на примере, как находятся постоянные С₁ и С₂. Найдём частное решение уравнения у′′ = 2х при начальных условиях у(0) = 2, у′(0) = 5. Так как общее решение в явном виде задаётся функцией и у′ = х² + С₁, то у(0) = С₂, а у′(0) = С₁. Учитывая заданные начальные условия, получаем, что С₂ = 2, С₁ = 5. Подставив эти значения в выражение для общего решения, получим частное решение .

Числовые значения постоянных С₁ и С₂ при начальных условиях (6.5) в случае, если общее решение уравнения имеет явный вид (6.3), находятся из системы уравнений

(6.6)

Пусть дифференциальное уравнение (6.1) или (6.2) рассматривается на отрезке [a, b]. Тогда условия

у(a) = d₁, y(b) = d₂, (6.7)

где d₁ и d₂ – заданные числа, называются краевыми для дифференциального уравнения второго порядка.

Краевая задача также может иметь единственное решение. В случае явного общего решения (6.3) постоянные С₁ и С₂ найдутся из системы уравнений

(6.8)

Рассмотрим для уравнения у′′ = 2х на отрезке [0, 1] краевую задачу со следующими однородными условиями: у(0) = 0, у(1) = 0. Так как общее решение имеет вид , то С₁ и С₂ найдутся из системы уравнений

Тогда , С₂ = 0. Решением этой краевой задачи является функция .

Кроме (6.7), имеются и другие виды краевых условий для дифференциальных уравнений второго порядка.