4 Уравнения в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

, (4.1)

если существует такая функция u = u(x, y) двух переменных, полный дифференциал которой представим в виде

du = P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Тогда уравнение (4.1) принимает вид

du(x, y) = 0.

Следовательно, общим интегралом исходного уравнения является выражение

u(x, y) = С, (4.2)

где С – произвольная постоянная.

Известно, что для того чтобы левая часть уравнения (4.1) являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Эйлера

. (4.3)

Если условие (4.3) выполнено, то

du = Pdx + Qdy.

С другой стороны, из определения полного дифференциала функции u имеем равенство

.

Из этих двух равенств получаем следующую систему уравнений в частных производных:

Проинтегрируем первое равенство системы по переменной х:

, (4.4)

где С(y) – произвольная функция переменной у. Для нахождения функции С(y) дифференцируем равенство (4.4) по у; при этом учитываем, что :

.

Из последующего уравнения определится С′(y), а затем интегрированием по у найдётся С(y).

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Так как , , то ; . Следовательно, выполняется условие (4.3), и это уравнение действительно является уравнением в полных дифференциалах. Для искомой функции имеем и . Из первого уравнения получаем = . Дифференцируем последнее равенство по : =8xy + С′(y). Учитывая, что =8xy + 1, имеем С′(y) = 1. Отсюда , = . Общий интеграл запишется в виде .

5 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция и её первая производная входят в первой степени:

. (5.1)

Существуют два метода решения уравнения (5.1): метод Бернулли (метод подстановки) и метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной).

Метод Бернулли (метод подстановки)

Решение уравнения (5.1) ищется в виде

y = uv, (5.2)

т.е. в виде произведения двух неизвестных дифференцируемых функций u = u(x) и v = v(x). Подставляя функцию (5.2) и её производную

y′ = u′v + uv′

в уравнение (5.1), в результате получим:

u′v + u[v′ + p(x)v] = q(x). (5.3)

Подберём какую-нибудь функцию v, чтобы выражение в квадратных скобках последнего равенства равнялось нулю:

v′ + p(x)v = 0. (5.4)

Разделяя в (5.4) переменные и интегрируя, получим .

Так как нам нужно иметь одну из функций v, удовлетворяющих (5.4), то можно положить С₁ = 0. Тогда

. (5.5)

Подставим найденную функцию v(x) в (5.3). В результате приходим к дифференциальному уравнению

(5.6)

с разделяющимися переменными относительно другой неизвестной функции u(x). Решением уравнения (5.6) является функция

, (5.7)

где С – произвольная постоянная.

Подставляя найденные функции u и v (см. (5.5) и (5.7)) в равенство (5.2), получаем общее решение дифференциального уравнения (5.1) в следующем виде:

. (5.8)

Однако при решении конкретных примеров не рекомендуется использовать равенство (5.8). Обычно действуют по изложенной выше схеме.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

y′ + y cos = e^{– sin x}.

Решение. Применяем замену (5.2), дифференцируем функцию y(x), подставляем её и производную в искомое уравнение. В результате приходим к уравнению

u′v + u[v′ + v cos x] = e^{– sin x}.

Теперь подбираем функцию v, являющуюся одним из решений уравнения v′ + v cos x = 0. Разделяем в последнем уравнении переменные:

.

Тогда . Полагая с₁ = 0, находим, что . За v(x) возьмём функцию v = e^{– sin x}.

Функция u(x) определится из равенства

u′e^{– sin x} = e^{– sin x}.

Тогда u′ = 1 или du = dx. Таким образом, u = x + C.

Перемножая функции u и v, окончательно получим, что общее решение исходного уравнения таково:

y = Сe^{– sin x} + xe^{– sin x}.

Уравнение (5.1) при q(x) ≠ 0 называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка, а при q(x) 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Линейное однородное уравнение

y′ + p(x)y = 0 (5.9)

является уравнением с разделяющимися переменными, поэтому

.

Интегрируя последнее равенство, получаем

(С₁ > 0).

После потенцирования общее решение уравнения (5.9) принимает вид

, (5.10)

где С ≠ 0. Так как при делении равенства (5.9) на y потеряно решение y ≡ 0, то в равенстве (5.10) надо учитывать, что С может принимать и значение 0.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Алгоритм метода

1. Для заданного неоднородного уравнения (5.1) выписывается соответствующее ему так называемое приведённое однородное уравнение вида (5.9), т.е. правая часть f(x) уравнения (5.1) заменяется нулём, а коэффициент р(х) при неизвестной функции y(x) сохраняется.

2. Методом разделения переменных находится общее решение этого однородного уравнения, которое имеет вид (5.10).

3. В (5.10) постоянную С заменяют на неизвестную функцию С(х), т.е. полагают С = С(х). При этом говорят, что постоянную С варьируют (изменяют). Таким образом, решение исходного неоднородного уравнения (5.1) ищут в виде

, (5.11)

при этом С(х) подлежит найти.

4. Функцию (5.11) дифференцируют, а затем её и её производную подставляют в уравнение (5.1).

5. После этих действий получится следующее уравнение для нахождения С(х):

.

6. Из последнего дифференциального уравнения находится путём разделения переменных неизвестная функция С(х):

. (5.12)

7. Функция (5.12) подставляется в равенство (5.11). Получится общее решение неоднородного уравнения (5.1) в виде (5.8).

Ещё раз отметим, что в конкретных примерах нецелесообразно применять громоздкую и трудно запоминающуюся формулу (5.8). Обычно каждый раз повторяют все действия приведённого алгоритма.

Заметим также, что метод Бернулли и метод Лагранжа приводят к одному и тому же результату (5.8).

Метод вариации позволяет выявить структуру общего решения неоднородного уравнения (5.1). Из формулы (5.8) видно, что общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка (5.1) равно сумме общего решения соответствующего приведённого однородного уравнения, которое имеет вид (5.10), и частного решения самого неоднородного уравнения (5.1), получающегося из его общего решения (5.8) при С = 0.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения

.

Решение. Соответствующее приведённое однородное дифференциальное уравнение имеет следующий вид: . Разделяя переменные, имеем . Интегрируем это равенство: , (С₁ > 0). Потенцируя и учитывая потерянное решение у ≡ 0, получаем . Полагая , находим y′ = C′ . Подставим выражение для и в исходное уравнение:

С′(х) ∙ sin x + C(x) ∙ cos x – C(х) ∙ sin x ∙ ctg x = – sin² x,

,

,

C(x) = cos x + C,

где С – произвольная постоянная.

Следовательно, общее решение таково:

y = C ∙ sin x + sin x ∙ cos x.

Пример. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения предыдущего примера с начальным условием

.

Решение. Так как общее решение этого дифференциального уравнения

у = (cos x + C) ∙ sin x,

то . С другой стороны, по условию примера, . Следовательно, С = 1. Таким образом, частное решение дифференциального уравнения таково: у = (1 + cos x) ∙ sin x.