Вопрос 7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

Теорема 1.3. Если функция имеет предел , то ее можно представить в виде суммы предела и бесконечно малой функции, т.е. , где при .

Теорема 1.4. Если функция равняется сумме постоянной b и бесконечно малой функции , т. е. , где при , то эта постоянная является ее пределом, т. е. .

Теоремы о пределах (свойства пределов)

Теорема 1.5. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, т. е.

.

Теорема 1.6. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, т. е. .

Следствие 1. Постоянную величину можно выносить за знак предела, т.е.

.

Следствие 2. Предел степени функции равен степени предела функции, т. е. .

Теорема 1.7. Предел частного функций равен частному пределов функций, если предел функции, стоящей в знаменателе, отличен от нуля, т. е.

Вопрос8 Первый замечательный предел

Теорема 1.8 о промежуточной функции.

Если в некоторой -окрестности точки значения функции заключены между значениями функций и , т. е. и при этом = b, то .

Теорема 1.9 о первом замечательном пределе.

Для любой бесконечно малой функции предел отношения равен единице, т. е. . (1.1)

Вопрос 9. Второй замечательный предел

Последовательность с общим членом имеет предел. Этот предел равен ,

Покажем, что второй замечательный предел может быть записан в следующем виде

, где  непрерывная бесконечно малая функция.

1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях

При начислении сложных процентов один раз в год справедлива формула

,

где  сумма первоначального долга,  сумма погашаемого долга,

n  срок долга в годах, i  годовая процентная ставка.

Если проценты начисляются m раз в год по годовой процентной ставке j, то находится по формуле

.

Если начисление процентов происходит непрерывно.Найдем формулу для начисления наращенной суммы долга S(n) в этом случае

,

где  процентная ставка при непрерывном начислении процентов, которая называется силой роста.

Вопрос 10.Сравнение бесконечно малых функций

1. Сравнить бесконечно малые функции и значит найти предел их отношения .

2. Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.

3. Бесконечно малые функции называются одного порядка малости, если предел их отношения равен отличной от нуля конечной величине.

4. Бесконечно малые функции называются эквивалентными, если предел их отношения равен единице.

5. Бесконечно малая функция называется более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой , если предел их отношения равен нулю

6. Бесконечно малая функция называется n-го порядка малости по сравнению с , если , где .

Теорема 1.10. Предел отношения бесконечно малых функций не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми функциями, т. е.

, где  ,  .