- •Вопрос 1. Определение множества
- •1.1.2. Операции над множествами
- •1.1.3. Свойства операций над множествами
- •1.2. Функции, их классификация
- •1.3. Предел последовательности
- •Вопрос4
- •Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции
- •Вопрос 6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Вопрос 7. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции
- •Вопрос8 Первый замечательный предел
- •Вопрос 9. Второй замечательный предел
- •1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях
- •Вопрос 10.Сравнение бесконечно малых функций
- •Вопрос 11.Непрерывность функции в точке и на отрезке.
- •Вопрос 12.Свойства непрерывных функций
- •Вопрос 13.Точки разрыва функций
- •Вопрос14.Определение производной функции
- •Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции
- •Вопрос 16.Вывод производных основных элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •2.1.9. Производные высших порядков
- •Вопрос 20. Эластичность функции
- •2.1.11. Геометрический смысл эластичности
- •2.2.2. Геометрический смысл дифференциала
- •2.2.3. Свойства дифференциала
- •Вопрос 22. Применение дифференциала для приближенных вычислений
- •Вопрос 23.Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.3.1. Теорема Ролля
- •2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля
- •2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
- •24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
- •2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- •2.3.6. Теорема Коши
- •2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- •Вопрос 27. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа
- •Вопрос 28. Формула Маклорена
- •2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций
- •2.5. Исследование функций
- •2.5.1. Необходимый и достаточный признаки монотонности функций
- •Вопрос 31. Определение экстремума функции
- •Вопрос 32.Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной)
- •34. Необходимый признак существования точки перегиба
- •35.Асимптоты графика функции
- •2.5.11. Построение графика функции
- •3.4. Свойства пределов
- •38.Бесконечно малые функции нескольких переменных
- •47. . Производная функции по направлению
2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля
Рассмотрим три функции.
1. Функция является непрерывной на отрезке [1; 1] и принимает равные значения в граничных точках . Однако функция не имеет производной в точке х = 0, так как при х > 0 , а при х < 0 . Нарушение условия дифференцируемости функции только в одной внутренней точке отрезка приводит в данном случае к отсутствию точки, в которой производная функции равна нулю, а касательная к графику горизонтальна (рис. 24).
3. Функция на отрезке [1; 1] удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Функция является непрерывной на отрезке [1; 1], принимает равные значения в граничных точках отрезка и ее производная существует в каждой внутренней точке отрезка. В граничных точках отрезка производная не существует (бесконечная). В теореме Ролля не требуется дифференцируемости функции в граничных точках отрезка. Всего этого достаточно, чтобы существовала внутренняя точка отрезка х = 0, в которой производная равна нулю, а касательная параллельна оси Ох (рис. 26).
24. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируемая в каждой его внутренней точке, то на интервале (a, b) найдется такая точка х = с, что .
2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
На основании формулы можно утверждать следующее.
Рис. 28 |
Если график функции y = f(x) непрерывный на отрезке и гладкий на интервале , то на этом интервале найдется такая точка , в которой касательная параллельна хорде, стягивающей граничные точки графика функции (рис. 28).
|
2.3.6. Теорема Коши
Теорема Коши. Если функции y = f(x) и y = g(x) непрерывные на отрезке , дифференцируемые в каждой внутренней точке этого отрезка и при этом производная y = g(x) ни в одной из этих точек не обращается в нуль ( ), то найдется такая внутренняя точка , что
.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , иначе по теореме Ролля существовала бы такая точка , в которой , что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию y = F(x), которая будет удовлетворять условиям теоремы Ролля.
.
Значения функции y = F(x) в точках х = а и х = b равны нулю. Действительно,
,
.
Функция y = F(x) является дифференцируемой, так как является линейной комбинацией дифференцируемых функций y = f(x) и y = g(x). Находим
.
По теореме Ролля существует точка , в которой производная функции y = F(x) равняется нулю
.
Отсюда получаем
.
2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
Теорема 2.1. Если в некоторой окрестности точки функции y = f(x) и y = g(x) определены и дифференцируемые, причем , пределы функций при равны нулю, т. е. , то предел отношения этих функций равняется пределу отношения их производных
,
если этот предел существует (конечный или бесконечный).
Правило Лопиталя справедливо также в случае когда . Покажем
Правило Лопиталя справедливо так же, если , т. е имеет место неопределенность типа , .
Пример 2.10. .
Если при нахождении пределов неопределенность имеет вид произведения , то прежде, чем применять правило Лопиталя, ее нужно привести к неопределенностям типа частного или .
Пример 2.13.
.
Если при применении правила Лопиталя под пределом имеются некоторые функции, которые не приводят к неопределенности, то эти функции нужно выделить в отдельный предел, т. е. разбить предел на два предела.
Пример 2.15.
.
Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени
Если при нахождении пределов имеет место неопределенность типа степени вида , то ее необходимо привести к неопределенности типа частного. Пусть имеет место неопределенность типа степени при нахождении предела . Используем определение логарифма, преобразуем данный предел
.
Так как показательная функция является непрерывной, то можно перейти к пределу в показателе степени, т. е.
.
При нахождении предела неопределенность имеет тип произведения, которую необходимо свести к неопределенности типа частного.
Пример 2.16. .
. .