- •Пересечение линейных подпространств
- •Скалярное произведение.
- •Для ортонормированных векторов матрица Грама – единичная
- •8. Ортогонализация совокупности векторов.
- •18. Характеристический и минимальный полином. Теоремам Гамильтона-Кели.
- •19. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
- •Нормальный вид квадратичной формы
Для ортонормированных векторов матрица Грама – единичная
8. Ортогонализация совокупности векторов.
процесс ортогонализации,- алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс ортогонализации Шмидта (или Грама - Шмидта), при к-ром по линейно независимой системе al,...,akстроится ортогональная система bl,...,bk такая, что каждый вектор bi (i=1,...,k).линейно выражается через al,...,ai
Полагают b1 = a1, и, если уже построены векторы b1,b2,..,bi − 1, то
Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шагу вектор bi является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов a1,...,ai − 1 до конца вектора ai.
9.Подпространства евклидова(унитарного) пространства.
10. Ортогональное дополнение и ортогональная проекция. Прямая сумма подпространств.
Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств :
если каждый вектор представляется в виде суммы
и притом единственным образом.
Комментарий
Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для в сумме (*) все слагаемые ).
Критерии прямой суммы
Каждый вектор раскладывается в сумму (*), причём (Если конечномерно)
Любая система из ненулевых векторов, принадлежащих различным подпространствам, линейно независима.
Пересечение каждого из подпространств с суммой остальных есть нулевое пространство (пространство, состоящее только из нулевого вектора).
Если линейное пространство обладает базисом, то объединение базисов подпространств ) есть базис в .
11. Линейные многообразия. Задание линейных
Решения любой совместной системы линейных уравнений с n неизвестными ранга r образуют линейное многообразие пространства Rn размерности d=n-r и обратно
Линейное пространство путем параллельного сдвига образует линейное многообразие.
12. Расстояние от точки до линейного многообразия.
Расстоянием от точки, заданной вектором х, до линейного многообразия Р=L+x0 называется минимум расстояний от данной точки до точек многообразия, то есть минимум длин векторов x-u, где u-вектор многообразия P.
Расстояние равно длине ортогональной составляющей z вектора x-x0 относительно линейного подпространства L, параллельным сдвигом которого получатся многообразие P.
13. Расстояние между многообразиями.
Расстоянием между двумя линейными многообразиями Р1=L1+x1 и P2=L2+x2 называется минимум расстояний любых двух точек, одна из которых принадлежит P1 , а другая Р2 .
Расстояние равно длине ортогональной составляющей вектора
x1-x2 относительно линейного подпространства L=L1+L2
14. Ортонормированный базис. Преобразование координат при ортонормированном базисе.
Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.
Если e1, e2, ..., en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и
x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..., n.
15. Линейное отображение векторного пространства. Примеры.
Лине́йным отображе́нием векторного пространства над полем в векторное пространство (лине́йным опера́тором из в ) над тем же полем называется отображение
,
удовлетворяющее условию линейности
,
.
для всех и .
Пример 1. Нулевое линейное отображение , заданное правилом для всех .
Пример 2. Тождественное линейное отображение задается формулой для всех .
Пример 3. Отображение векторного пространства из примера 4 в одномерное вещественное пространство , является линейным отображением векторных пространств.
16. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .
В этих пространствах определены базисы e = {e1, ..., en} и f = {f1, ..., fm}.
Пусть A(ei ) = a1i·f1 + a2i·f2 + ...+ ami·fm — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису fпространства Y, i = 1, 2, ..., n.
Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {aij}= {A(ej )i}:
Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:
y = A· x,
Пусть V – линейное пространство, А – линейный оператор из , и – два базиса в V и – формулы перехода от базиса к базису . Обозначим через матрицу перехода от базиса к базису. Отметим, что ранг матрицы С равен n. Пусть и – матрицы оператора А в указанных базисах.
Теорема 7.1. Матрицы А и оператора А в базисах и связаны соотношением .
Доказательство. При воздействии линейного оператора А вектор пространства переводится в вектор этого пространства, т.е. справедливо равенство
= А (7.3)
(в старом базисе) и равенство
= А (7.4)
(в новом базисе). Так как – матрица перехода от старого базиса к новому, то
(7.5)
(7.6)
Умножим равенство (7.5) слева на матрицу , получим А = АC и с учетом (7.3) = АC . Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (7.6), получим: С = АC или = С–1 АC . Сравнивая найденное выражение с равенством (7.4), получим доказываемую формулу.
Отсюда следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса.
17.Действия над линейными операторами. Обратный оператор.
Пусть А и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В для любого из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. А + В = В +А.
2. (А +В) +Е = А + (В + Е).
3. А + О = А для любого А.
4. (–А) + А = О.
Произведением линейного оператора на скаляр α назовем оператор αА, определяемый равенством А) А . Ясно, что αА – тоже линейный оператор.
Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:
1. А = А; 0А = О; (–1)А= –А.
2. βА) А.
3. А = А + βА.
4. (А + В) = А + В.
Обозначим через множество всех линейных операторов, действующих из V в W.
Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.
Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:
1. АВ) = ( А )В.
2. (АВ)Е = А (ВЕ).
3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.
Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.
Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А–1. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.
Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и отвечают различные элементы А и А . Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.