В10 Модели теории игр. Решение матричных игр графическим и приближенным методом

Игра- упрощенная модель конфликтной ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ее участников принимает такие решения, которые, как он полагает, могут обеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическим выражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называют игрой с ну-левой суммой. Если в игре участвуют 2 игрока, то ее называют парной. В качестве игрока может выступать как отдельное лицо, так и группа лиц, объединенных общей целью. Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выбирает образ своих действий самостоятельно, имея лишь общее представление о множестве допустимых ответных решений партнера. Поэтому ни 1 из игроков не может полностью контролировать положение, так что как одному и другому игроку решение приходится принимать в условиях неопределенности. Непременным остается только стремление игроков использовать любую ошибку партнера в своих интересах. Игры, в которых

оба участника, действуя в строгом соответствии с правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшего для себя результата, наз-т стратегическими.

В экон. практике приходится моделировать ситуации, придавая им игровую схему, в которых один из участников безразличен к рез-ту игры. Такие игры наз-т играми с природой, понимая под термином "природа" всю совокупность внешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходится принимать решение. В играх с природой степень неопределенности при принятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется это тем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянно ожидает наихудшего для себя ответного действия партнера.

Решение матричной игры графическим методом

При поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей и целесообразно использовать графический метод решения задач линейного программирования и свойства оптимальных планов пары двойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменная поло-жительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным планом задачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальном плане двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.

В11 Приближенный метод решения матричных игр

Если точное решение матричной игры оказывается громоздким, можно ограничиться приближенным решением. В частности, когда нижняя чистая цена игры мало отличается от верхней чистой цены , иногда пользуются чистыми максиминной и минимаксной стратегиями, принимая их за оптимальные. В противном случае целесообразно использовать метод итераций. В основе этого метода лежит предположение, что игра состоит из большого количества партий и игроки выбирают свои чистые стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимся опытом уже сыгранных партий, обоснованно полагая, что партнер и дальше будет действовать так, как он действовал до этого момента. Если каждый игрок имеет единственную оптимальную смешанную стратегию, то при неограниченном увеличении числа партий приближенные смешанные стратегии стремятся

к оптимальным стратегиям игроков, а средние выигрыши – к цене игры Используя ЭВМ, вычислительную процедуру можно значительно ускорить и получить решение игры с любой точностью даже при матрицах больших размерностей. Итеративный метод можно рекомендовать для получения приближенного плана больших по размеру задач линейного программирования, с тем чтобы этот план преобразовать затем в оптимальный с помощью более громоздкой симплексной процедуры. Проследим за ходом рассуждений игроков, начиная с первой партии, если игра задана платежной матрицей, помещенной в таблице 1. Все ре-зультаты будем записывать в табл. 2.

ТАБЛ.1

табл.2

В первой партии допускаем, что игрок A выбрал некоторую чистую стратегию Ak (например, максиминную). Запишем в первую строку табли-цы.2 все возможные значения выигрыша, которые игрок А может получить при применении игроком В любой из его чистых страте-гий Bj. Игрок В ответит той стратегией, при которой его проигрыш будет наименьшим. Эта стратегия соответствует наименьшему из элементов . Пусть им будет элемент . Тогда наилучшей для игрока В будет стратегия Bs . Заполнение первой строки таблицы 2 . завершаем записью значений выигрышей , соответствующих всем возможным стратегиям игрока А. В последние три столбца запишем: – наименьший из накопленных выигрышей игрока А за h партий, деленный на число партий h; – наибольший из накопленных проигрышей игрока В за h партий, деленныйна на число партий h; – среднее арифметическое – приближенное значение цены игры.

Во второй партии игрок A предполагает, что игрок В и в данной партии воспользуется стратегией Bs, а поэтому игрок А отвечает стратегией, которая обеспечивает ему при стратегии Bs наибольший выигрыш. Эта стратегия соответствует наибольшему из элементов . Пусть им будет, например, элемент . Тогда наилучшей для игрока А будет чистая стратегия Al. Во вторую строку таблицы 2 запишем суммарные значения выигрыша за первую (при стратегии Ak) и вторую (при стратегии Al) партии – накопленный выигрыш .В свою очередь игрок В, анализируя суммарные выигрыши blj игрока А и предполагая, что игрок А и далее будет пользоваться стратегией Al, аккумулирующей опыт первых партий (в накопленном выигрыше), выбирает стратегию Bt, отвечающую blt – наименьшему из элементов blj. Заканчивая заполнение второй строки таблицы 2, записываем накопленный проигрыш игрока В за две партии при различных стратегиях игрока А: Заполняем и последние три столбца:

Аналогично игроки выбирают свои стратегии в ходе всей игры. Приближенные оптимальные стратегии игроков находят после прекращения итерационного процесса. Предположим, что он закончился на r-й партии и за всю игру стратегия Al была использована раз, а стратегия Bj – раз. Тогда за вероятности применения чистых стратегий принимаются значения частостей:

Приближенное значение цены игры