4. Как определяется наращенная сумма ренты пренумерандо?

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i) раз.

Такая рента реализуются сразу же после заключения контракта, т.е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Такие ренты (пренумерандо) также называются авансовыми, или причитающимися аннуитетами. Сумма членов такой ренты определяется по формуле:

   (1)

То есть сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в  раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

    (2)

где S - наращенная сумма постнумерандо.

5. Как определить номинальную процентную ставку, обеспечивающую наращение реальной ценности денежных средств?

Реальная сумма (ценность) денежных средств — это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

Корректировка наращенной стоимости с учетом инфляции производится по формуле:

(1)

где — реальная будущая стоимость денег,

F_n — номинальная будущая стоимость денег с учетом инфляции.

Здесь предполагается, что темп инфляции сохраняется по годам.

Если r — номинальная ставка процента, которая учитывает инфляцию, то расчет реальной суммы денег производится по формуле:

, (2)

то есть номинальная сумма денежных средств снижается в (1+Т)ⁿ раза в соответствии со снижением покупательной способности денег.

В общем случае при анализе соотношения номинальной ставки процента с темпом инфляции возможны три случая:

1. r = T: наращение реальной стоимости денежных средств не происходит, так как прирост их будущей стоимости ПОГЛОЩАЕТСЯ инфляцией

2. r > T: реальная будущая стоимость денежных средств возрастает несмотря на инфляцию

3. r < T: реальная будущая стоимость денежных средств снижается, то есть процесс инвестирования становится УБЫТОЧНЫМ.

Практические задания:

1. Клиент поместил в банк 1000$ по ставке простого процента 12,5% на 9 лет и 5 месяцев. Вычислите общую сумму процентного дохода.

Дано:

PV=1000$

r=12,5%=0,125

n=9,5

I=?

Решение:

I = FV-PV = PV × r × n

I=1000$*0,125*9,5=1187,5$

Ответ:

Общая сумма процентного дохода за 9 лет 5 месяцев составит 1187,5$.

2. Вычислите ставку процента в годовом исчислении (EPR), если 11,5 % в год с начислением процентов каждые 6 месяцев.

Дано:

r=11,5%=11,5/100

m=2, то есть 2 раза в год

EPR=?

Решение:

EPR = (1+0,115/2)^2 -1 = 0,1183=11,83%

Ответ:

Доходность вклада (эффективная ставка), если проценты начисляются каждые 6 месяцев 11,83% , то есть выше номинальной процентной ставкой на 0,33%.

3. Найдите годовую норму амортизации, первоначальная стоимость 2000 $, стоимость через четыре года 500$.

Дано:

Фп=2000$

Фл=500$

Тп=4

На-?

Решение:

Годовая норма амортизации должна рассчитываться по формуле:

,                  

где На – годовая норма амортизации, %;

Фп – первоначальная (восстановительная) стоимость основных фондов, $;

Фл – ликвидационная стоимость основных фондов, $;

Тп – срок полезного использования (или амортизационный период), лет.

НА=(2000-500/4*2000)*100%=18,75%

Ответ: годовая норма амортизации составила 18,75%.

4. Найдите стоимость инвестиции в конце трех лет. Первоначальная разовая сумма 30 000$. В течение 3 лет изымается 500$ в месяц. Ежегодно начисляется процентный доход из расчета 11% годовых.

Решение:

500$*12 месяцев=6000$ изымается за год

(-6000$)*(1+0,11)^3-(-6000$)=2205,786$

30000$(1+0,11)^3+(-2205,786$)=41028,93$-2205,786$=38823,144$

Ответ:

Стоимость инвестиции в конце трех лет составит 38823,144$.

5. Определите сумму каждой выплаты, необходимой для погашения следующего кредита: 40 000 $ под 19% годовых, выплаты ежемесячно в течение 4 лет. Рассмотреть 2 типа кредита: а) все проценты по сложной процентной ставке начисляются на всю сумму, затем одинаковые ежемесячные выплаты; б) ежемесячные выплаты по аннуитету.

Дано:

S=40000$

i= 1,583 (19%/12мес)=0,01583

n=48 (4 года/12 мес)

размер выплат по кредиту - ?

Решение:

А) Формула вычисления будущей стоимости ссуды со сложными процентами определяется так:

FV – будущая стоимость ссуды (Future Value).

PV – текущая стоимость ссуды (Present Value).

r – процентная ставка.

T – период ссуды в днях

Ty – количество дней в году

FV=40000$*(1+0,19)^4 = 80213,568$

Следовательно ежемесячные платежи будут составлять 80213,568$/(4*12)=1671,116$

Б) Формула аннуитетных платежей

Коэффициент аннуитета рассчитывается по следующей формуле:

где i - месячная процентная ставка по кредиту (= годовая ставка / 12),

n - количество периодов, в течение которых выплачивается кредит.

K=0,01583*(1+0,01583)^⁴⁸ = 0,0336463 = 0,0299

(1+0,01583)^⁴⁸-1 1,125248

A=K*S=0,0299*40000$=1196$

Ответ:

А) Ежемесячные выплаты по погашению кредита составят 1671,116$. А переплата по процентам за 4 года составит 40213,568$.

Б) Ежемесячные выплаты по погашению кредита составят 1196$. А переплата по процентам за 4 года составит 17408$.

Можно сделать вывод, что аннуитетные платежи будут выгоднее и могут сэкономить за 4 года 22805,568$.

6. Суммы 30, 40, 80 тыс. руб. нужно было уплатить через 1 год и 6 месяцев, 2 и 4 года соответственно, применяется сложная процентная ставка 24% годовых. Найти величину консолидированного платежа, который нужно оплатить через 3 года и 5 месяцев? Как изменится результат при ежеквартальном начислении процентов?